Giải bài 4.60 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trên cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\) lấy các điểm \(M,\,\,N,\) không trùng với \(B\) và \(C\) sao cho \(BM = MN = NC.\)

a) Chứng minh rằng hai tam giác \(ABC\) và \(AMN\) có cùng trọng tâm.

b) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Đặt \(\overrightarrow {GB}  = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow v .\) hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v :\,\,\overrightarrow {GA} ,\,\,\overrightarrow {GM} ,\,\,\overrightarrow {GN} .\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) hai tam giác \(ABC\) và \(AMN\) có cùng trọng tâm.

b) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Đặt \(\overrightarrow {GB}  = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow v .\)

Ta có: \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {GA}  =  - \overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC}  =  - \overrightarrow u  - \overrightarrow v  =  - \left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {GM}  = \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BM} \)

\( = \overrightarrow {GB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {GB}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {GC}  - \overrightarrow {GB} } \right)\\ = \frac{2}{3}\overrightarrow {GB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {GC}  = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {GN}  = \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CN} \)

 \(\begin{array}{l} = \overrightarrow {GC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} \\ = \overrightarrow {GC}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC} } \right)\\ = \frac{1}{3}\overrightarrow {GB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {GC}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow u  + 2\overrightarrow v } \right)\end{array}\)