1. Nội dung câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(AB \bot BC\), \(SA = AB = 3a\), \(BC = 4a\). Tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
b) Giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).
c) Từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
d) Từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
e*) Giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).
2. Phương pháp giải
a) Chỉ ra rằng \(B\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\left( {SAB} \right)\), từ đó tính được khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
b) Chỉ ra rằng \(AB\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\), từ đó tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).
c) Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên \(SB\). Ta chứng minh \(H\) cũng là hình chiếu của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(AH\).
d) Gọi \(M\) là hình chiếu của điểm \(B\) trên \(AC\). Ta chứng minh \(M\) cũng là hình chiếu của điểm \(B\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(BM\).
e) Lấy điểm \(D \in \left( {ABC} \right)\) sao cho \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(N\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SD\). Ta chứng minh \(AN \bot \left( {SCD} \right)\). Do \(AB\parallel CD\) nên \(AB\parallel \left( {SCD} \right)\). Mà \(SC \in \left( {SCD} \right)\) nên khoảng cách giữa \(AB\) và \(SC\) chính là khoảng cách giữa \(AB\) và \(\left( {SCD} \right)\)
3. Lời giải chi tiết
a) Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), ta có \(SA \bot BC\). Mà \(AB \bot BC\) nên \(\left( {SAB} \right) \bot BC\). Do đó, \(B\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\left( {SAB} \right)\), tức là khoảng cách từ \(C\) đến \(\left( {SAB} \right)\) là đoạn thẳng \(BC\). Do \(BC = 4a\), nên khoảng cách từ \(C\) đến \(\left( {SAB} \right)\) là \(4a\).
b) Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), ta có \(SA \bot AB\). Mà \(AB \bot BC\) nên \(AB\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\). Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) là đoạn thẳng \(AB\). Do \(AB = 3a\), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) là \(3a\).
c) Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên \(SB\). Theo câu a, ta có \(\left( {SAB} \right) \bot BC\) nên \(AH \bot BC\). Vì \(AH \bot BC\), \(AH \bot SB\), ta có \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Vậy \(H\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), điều này có nghĩa khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là đoạn thẳng \(AH\).
Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(A\), \(SA = AB = 3a\) nên ta suy ra \(AH = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).
d) Gọi \(M\) là hình chiếu của điểm \(B\) trên \(AC\). Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), ta suy ra \(SA \bot BM\). Vì \(SA \bot BM\), \(AC \bot BM\) nên \(\left( {SAC} \right) \bot BM\). Vậy \(M\) là hình chiếu của điểm \(B\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), điều này có nghĩa khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là đoạn thẳng \(BM\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), đường cao \(BM\), nên ta có \(\frac{1}{{B{M^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}}\).
Suy ra \(BM = \frac{{BA.BC}}{{\sqrt {B{A^2} + B{C^2}} }} = \frac{{3a.4a}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} }} = \frac{{12a}}{5}\).
e) Lấy điểm \(D \in \left( {ABC} \right)\) sao cho \(ABCD\) là hình bình hành. Do \(\widehat {ABC} = {90^o}\) nên \(ABCD\) là hình chữ nhật. Suy ra \(CD \bot AD\). Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), ta có \(SA \bot CD\). Do đó \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).
Gọi \(N\) là hình chiếu của điểm \(A\) trên \(SD\). Do \(CD \bot \left( {SAD} \right)\) nên \(CD \bot AN\).
Như vậy ta có \(CD \bot AN\), \(AN \bot SD\) nên \(AN \bot \left( {SCD} \right)\). Do \(AB\parallel CD\) nên \(AB\parallel \left( {SCD} \right)\). Mà \(SC \in \left( {SCD} \right)\) nên khoảng cách giữa \(AB\) và \(SC\) chính là khoảng cách giữa \(AB\) và \(\left( {SCD} \right)\), và nó cũng chính bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( {SCD} \right)\), và bằng \(AN\).
Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\), ta có
\(AN = \frac{{SA.AD}}{{SD}} = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{3a.4a}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} }} = \frac{{12a}}{5}\)
Chủ nghĩa yêu nước trong văn thơ Nguyễn Đình Chiểu
Review (Units 3 - 4)
Một số tác giả, tác phẩm văn học tham khảo - Ngữ văn 11
Tóm tắt, bố cục, nội dung chính các tác phẩm SGK Văn 11 - Tập 1
Chủ đề 7: Quyền bình đẳng của công dân
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán Lớp 11
Quên mật khẩu ?
Hoặc đăng nhập với
Điểm cần để chuộc tội: 0
Bé Cà đang rất bực vì quỹ điểm của bạn đã đạt ngưỡng báo động. Bé Cà đã tắt quyền đặt câu hỏi của bạn. Mau kiếm bù điểm chuộc lỗi với bé Cà
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
Để nhận quà tặng voucher bạn cần hoàn thành một nhiệm vụ sau