1. Nội dung câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 2a\), \(AD = 3a\), tam giác \(\left( {SAB} \right)\) vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Tính khoảng cách:
a) Từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
b) Giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\).
c) Giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(SA\).
d) Từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
2. Phương pháp giải
a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh rằng \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)và chỉ ra rằng \(B\) là hình chiếu của \(C\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(BC\).
b) Chỉ ra rằng do \(CD\parallel \left( {SAB} \right)\), và \(SB \subset \left( {SBC} \right)\), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) cũng chính là khoảng cách giữa \(CD\) và \(\left( {SBC} \right)\), và cũng bằng đoạn thẳng \(BC\).
c) Chi ra rằng \(SB\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \(SA\) và \(BC\), từ đó chứng minh được khoảng cách này bằng đoạn thẳng \(SB\).
d) Theo câu a, ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(SH\).
3. Lời giải chi tiết
a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Do tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên ta có \(SA \bot SB\) và \(SH \bot AB\). Hơn nữa, do \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(AB\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó, ta suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Từ đó \(SH \bot BC\).
Do \(ABCD\) là hình chữ nhật, ta suy ra \(AB \bot BC\). Như vậy, do \(SH \bot BC\), \(AB \bot BC\) ta suy ra \(\left( {SAB} \right) \bot BC\). Như vậy \(B\) là hình chiếu của \(C\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(BC\). Mà \(BC = 3a\), nên khoảng cách từ điểm \(C\) đến \(\left( {SAB} \right)\) là \(3a\).
b) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật, ta suy ra \(CD\parallel AB\), mà \(AB \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(CD\parallel \left( {SAB} \right)\). Hơn nữa, do \(SB \subset \left( {SBC} \right)\), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) cũng chính là khoảng cách giữa \(CD\) và \(\left( {SBC} \right)\), và nó cũng bằng khoảng cách từ điểm \(C\) đến \(\left( {SBC} \right)\). Theo câu a, khoảng cách này chính là đoạn thẳng \(BC\), tức là khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) bằng \(3a\).
c) Theo câu a, ta có \(SA \bot SB\). Hơn nữa, ta cũng có \(\left( {SAB} \right) \bot BC\) nên \(SB \bot BC\). Như vậy, \(SB\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \(SA\) và \(BC\), điều này có nghĩa khoảng cách giữa \(SA\) và \(BC\) là đoạn thẳng \(SB\).
Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên ta có \(A{B^2} = 2S{B^2} \Rightarrow SB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }}\)
Mà \(AB = 2a\) nên \(SB = \frac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \).
Vậy khoảng cách giữa \(SA\) và \(BC\) là \(a\sqrt 2 \).
d) Theo câu a, ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Điều này có nghĩa khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABCD} \right)\) là đoạn thẳng \(SH\).
Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) có đường trung tuyến \(SH\) nên ta có \(SH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).
Vậy khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABCD} \right)\) là \(a\).
Chủ đề 4. Chiến tranh bảo vệ Tổ quốc và chiến tranh giải phóng dân tộc trong lịch sử Việt Nam (trước cách mạng tháng Tám năm 1945)
Chuyên đề 2. Lí thuyết đồ thị
Tải 10 đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương VII - Hóa học 11
Bài 3. Một số vấn đề mang tính chất toàn cầu - Tập bản đồ Địa lí 11
Tải 20 đề kiểm tra 15 phút - Chương 2
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán Lớp 11
Quên mật khẩu ?
Hoặc đăng nhập với
Điểm cần để chuộc tội: 0
Bé Cà đang rất bực vì quỹ điểm của bạn đã đạt ngưỡng báo động. Bé Cà đã tắt quyền đặt câu hỏi của bạn. Mau kiếm bù điểm chuộc lỗi với bé Cà
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
Để nhận quà tặng voucher bạn cần hoàn thành một nhiệm vụ sau