Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 2a\), \(AD = 3a\), tam giác \(\left( {SAB} \right)\) vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Tính khoảng cách:

a) Từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

b) Giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\).

c) Giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(SA\).

d) Từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

2. Phương pháp giải

a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh rằng \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)và chỉ ra rằng \(B\) là hình chiếu của \(C\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(BC\).

b) Chỉ ra rằng do \(CD\parallel \left( {SAB} \right)\), và \(SB \subset \left( {SBC} \right)\), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) cũng chính là khoảng cách giữa \(CD\) và \(\left( {SBC} \right)\), và cũng bằng đoạn thẳng \(BC\).

c) Chi ra rằng \(SB\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \(SA\) và \(BC\), từ đó chứng minh được khoảng cách này bằng đoạn thẳng \(SB\).

d) Theo câu a, ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(SH\).

3. Lời giải chi tiết

a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Do tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên ta có \(SA \bot SB\) và \(SH \bot AB\). Hơn nữa, do \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(AB\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó, ta suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Từ đó \(SH \bot BC\).

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật, ta suy ra \(AB \bot BC\). Như vậy, do \(SH \bot BC\), \(AB \bot BC\) ta suy ra \(\left( {SAB} \right) \bot BC\). Như vậy \(B\) là hình chiếu của \(C\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), từ đó khoảng cách cần tính là đoạn thẳng \(BC\). Mà \(BC = 3a\), nên khoảng cách từ điểm \(C\) đến \(\left( {SAB} \right)\) là \(3a\).

b) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật, ta suy ra \(CD\parallel AB\), mà \(AB \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(CD\parallel \left( {SAB} \right)\). Hơn nữa, do \(SB \subset \left( {SBC} \right)\), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) cũng chính là khoảng cách giữa \(CD\) và \(\left( {SBC} \right)\), và nó cũng bằng khoảng cách từ điểm \(C\) đến \(\left( {SBC} \right)\). Theo câu a, khoảng cách này chính là đoạn thẳng \(BC\), tức là khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) bằng \(3a\).

c) Theo câu a, ta có \(SA \bot SB\). Hơn nữa, ta cũng có \(\left( {SAB} \right) \bot BC\) nên \(SB \bot BC\). Như vậy, \(SB\) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng \(SA\) và \(BC\), điều này có nghĩa khoảng cách giữa \(SA\) và \(BC\) là đoạn thẳng \(SB\).

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên ta có \(A{B^2} = 2S{B^2} \Rightarrow SB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }}\)

Mà \(AB = 2a\) nên \(SB = \frac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \).

Vậy khoảng cách giữa \(SA\) và \(BC\) là \(a\sqrt 2 \).

d) Theo câu a, ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Điều này có nghĩa khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABCD} \right)\) là đoạn thẳng \(SH\).

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) có đường trung tuyến \(SH\) nên ta có \(SH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).

Vậy khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( {ABCD} \right)\) là \(a\).

Fqa.vn

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024