Bài 49 trang 108 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Tính cạnh của hình tám cạnh đều theo bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp.

Hướng dẫn:

Cách \(1:\) áp dụng công thức \(a = 2R\sin\displaystyle {{180^\circ } \over n}\)

Cách \(2:\) tính trực tiếp.

Vẽ dây \(AB\) là cạnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn \((O),\) gọi \(C\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(AB.\) Khi đó \(CA\) là cạnh của hình tám cạnh đều nội tiếp. Hãy tính \(CA\) trong tam giác vuông \(CAC’.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác.

+) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác.

+) Trong tam giác vuông, bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Lời giải chi tiết

Cách \(1:\) Áp dụng công thức \(a=2R\sin\dfrac{180^\circ}{n},\) ta có:

\(a=2R\sin22^\circ30'\)\(\approx 0,765R\) 

Cách \(2:\)

\(AC\) là cạnh của đa giác đều \(8\) cạnh.

Nên \(sđ\overparen{AC}=\dfrac{1}{8}.360^0=45^0\)

Do đó \(\widehat {AC'C}=\dfrac {sđ\overparen{AC}}{2}=22^030'\) (tính chất góc nội tiếp)

Trong tam giác vuông \(CAC',\) ta có:

\(\sin \widehat{AC'C}=\dfrac{AC}{CC'}\) 

\(\Rightarrow AC=CC'.\sin  \widehat{AC'C}\)\(=2R.\sin22^030' \approx 0,765R\)