Bài 5 trang 196 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

\(BD\) là đường phân giác của tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng \(BD^2=AB.BC - AD.DC.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
 

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
 

Lời giải chi tiết

Gọi \(E\) là giao điểm của tia \(BD\) và đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

* Xét \(\Delta BEA\) và \(\Delta BCD\) có:

\(\widehat {ABE} = \widehat {DBC}\) (vì \(BD\) là tia phân giác \(\widehat B\))

\(\widehat {BEA} = \widehat {BCD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))

\(\Rightarrow \Delta BEA\backsim \Delta BCD\) (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BE}}{{BC}}\)

Mà \(BE=BD+DE\) nên \(\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD + DE}}{{BC}}\)

\(\Rightarrow B{D^2} + BD.DE = AB.BC\)

\( \Rightarrow B{D^2} = AB.BC - BD.DE\)    (1)

* Xét \(\Delta BDC\) và \(\Delta ADE\) có:

\(\widehat {BDC} = \widehat {ADE}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat {DBC} = \widehat {DAE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CE\))

\(\Rightarrow \Delta BDC\backsim \Delta ADE\) (g.g)

\(\Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AD}}{{DE}}\)

\(\Rightarrow BD.DE = AD.DC\)          (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(B{D^2} = AB.BC - AD.DC\) (điều phải chứng minh).