Bài 5.1* phần bài tập bổ sung trang 13 SBT toán 8 tập 2

\(\displaystyle{2 \over {\displaystyle x + {1 \over {1 + \displaystyle {{x + 1} \over {x - 2}}}}}} = {6 \over {3x - 1}}\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
x + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}}} = x + \dfrac{1}{{\dfrac{{x - 2 + x + 1}}{{x - 2}}}}\\
= x + \dfrac{{x - 2}}{{2x - 1}} = \dfrac{{x\left( {2x - 1} \right) + x - 2}}{{2x - 1}}\\
= \dfrac{{2{x^2} - x + x - 2}}{{2x - 1}} = \dfrac{{2{x^2} - 2}}{{2x - 1}}\\
= \dfrac{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{2x - 1}}
\end{array}\)

ĐKXĐ của phương trình là \(\displaystyle x \ne 2,x \ne {1 \over 2},x \ne  \pm 1,x \ne {1 \over 3}\).

Phương trình đã cho trở thành: \(\dfrac{2}{{\dfrac{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{2x - 1}}}} = \dfrac{6}{{3x - 1}}\)

\(\Leftrightarrow  \displaystyle{{2x - 1} \over {{x^2} - 1}} = {6 \over {3x - 1}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2x - 1} \right).\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} = \dfrac{{6\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}\)

\(\displaystyle\eqalign{  & \Rightarrow  \left( {2x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 6\left( {{x^2} - 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow  6{x^2} - 3x - 2x + 1 = 6{x^2} - 6\cr  &  \Leftrightarrow  - 5x  =  - 7  \cr  &  \Leftrightarrow x = {7 \over 5} \cr} \)

Giá trị \(\displaystyle x = {7 \over 5}\) thỏa mãn ĐKXĐ. 

Vậy phương trình có tập nghiệm là \( \displaystyle S = \left\{ {7 \over 5} \right \}.\)

\(\displaystyle{\displaystyle {{{x + 1} \over {x - 1}} - {{x - 1} \over {x + 1}}} \over {\displaystyle 1 + {{x + 1} \over {x - 1}}}} = {{x - 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

Cách 1. ĐKXĐ: \(\displaystyle x \ne  \pm 1\). 

Ta có vế trái:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}}}{{1 + \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}}} = \dfrac{{\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}}}{{\dfrac{{x - 1 + x + 1}}{{x - 1}}}}\\
= \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}.\dfrac{{x - 1}}{{2x}}\\
= \dfrac{{4x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}.\dfrac{{x - 1}}{{2x}}\\
= \dfrac{2}{{x + 1}}
\end{array}\)

Từ đó, phương trình đã cho có dạng \(\displaystyle{2 \over {x + 1}} = {{x - 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}\).

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{2.2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{x - 1}}{{2\left( {x + 1} \right)}}\\
\Rightarrow 2.2 = x - 1\\
\Leftrightarrow x - 1 = 4\\
\Leftrightarrow x = 5\,(thỏa\,mãn)
\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất \(x = 5\).

Cách 2. Đặt \(\displaystyle{{x + 1} \over {x - 1}} = y\), ta có phương trình \(\displaystyle{{y - \displaystyle {1 \over y}} \over {1 + y}} = {1 \over {2y}}\).

ĐKXĐ của phương trình này là \(\displaystyle y \ne 0\) và \(\displaystyle y \ne  - 1\). 

\(\displaystyle{{y - \displaystyle {1 \over y}} \over {1 + y}} = {1 \over {2y}}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{\left( {y - \dfrac{1}{y}} \right).2y}}{{\left( {1 + y} \right).2y}} = \dfrac{{1 + y}}{{\left( {1 + y} \right).2y}}\\
\Rightarrow \left( {y - \dfrac{1}{y}} \right).2y = 1 + y
\end{array}\)

\(\displaystyle\eqalign{  & \Leftrightarrow 2{y^2} - 2 = 1 + y  \cr  &  \Leftrightarrow 2\left( {{y^2} - 1} \right) - \left( {y + 1} \right) = 0\cr  &  \Leftrightarrow 2\left( {{y} - 1} \right) (y+1)- \left( {y + 1} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {2y - 3} \right) = 0 \cr} \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow y +1=  0\) hoặc \(\displaystyle 2y-3=0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow y =  -1\) hoặc \(\displaystyle 2y=3\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow y =  - 1\) hoặc \(\displaystyle y = {3 \over 2}\)

Trong hai giá trị tìm được, chỉ có \(\displaystyle y = {3 \over 2}\) là thỏa mãn ĐKXĐ.

Thay lại cách đặt ta được:  \(\displaystyle y = {3 \over 2} \Rightarrow \displaystyle{{x + 1} \over {x - 1}} = {3 \over 2}\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\left( {x + 1} \right) = 3\left( {x - 1} \right)\\
\Leftrightarrow 2x + 2 = 3x - 3\\
\Leftrightarrow 2x - 3x = - 2 - 3\\
\Leftrightarrow - x = - 5\\
\Leftrightarrow x = 5\,(thỏa \, mãn)
\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \( \displaystyle S = \left\{ 5 \right \}.\)

\(\displaystyle{5 \over x} + {4 \over {x + 1}} = {3 \over {x + 2}} + {2 \over {x + 3}}\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\displaystyle x \ne \left\{ {0; - 1; - 2; - 3} \right\}\). Ta biến đổi phương trình như sau : 

\(\displaystyle  {5 \over x} + {4 \over {x + 1}} = {3 \over {x + 2}} + {2 \over {x + 3}} \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {{5 \over x} + 1} \right) + \left( {{4 \over {x + 1}} + 1} \right) \) \(\displaystyle = \left( {{3 \over {x + 2}} + 1} \right) + \left( {{2 \over {x + 3}} + 1} \right) \) 
\(\displaystyle  \Leftrightarrow {{5 + x} \over x} + {{5 + x} \over {x + 1}} = {{5 + x} \over {x + 2}} + {{5 + x} \over {x + 3}} \)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {{5 + x} \over x} + {{5 + x} \over {x + 1}} - {{5 + x} \over {x + 2}} - {{5 + x} \over {x + 3}}=0 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {5 + x} \right) \) \(.\displaystyle \left( {{1 \over x} - {1 \over {x + 3}} + {1 \over {x + 1}} - {1 \over {x + 2}}} \right) = 0 \)
\(\displaystyle  \Leftrightarrow 5 + x = 0\,\,\,\,\,(1) \)

hoặc \(\displaystyle{1 \over x} - {1 \over {x + 3}} + {1 \over {x + 1}} - {1 \over {x + 2}} = 0\)     \((2)\)

Ta có:

\((1)\) \(\displaystyle \Leftrightarrow x =  - 5\)

Phương trình \((2)\) 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 3}} = \dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{{x + 1}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{x + 3 - x}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{{x + 1 - \left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{3}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\
\Rightarrow 3\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = - x\left( {x + 3} \right)\\
\Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + 2x + x + 2} \right) = - {x^2} - 3x\\
\Leftrightarrow 3{x^2} + 6x + 3x + 6 + {x^2} + 3x = 0\\
\Leftrightarrow 4{x^2} + 12x + 6 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {2x} \right)^2} + 2.2x.3 + 9 - 3 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {2x + 3} \right)^2} = 3\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + 3 = \sqrt 3 \\
2x + 3 = - \sqrt 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \sqrt 3 - 3\\
2x = - \sqrt 3 - 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{\sqrt 3 - 3}}{2}\\
x = \dfrac{{ - \sqrt 3 - 3}}{2}
\end{array} \right.\left(\, {thỏa\,mãn} \right)
\end{array}\) 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 5;\dfrac{{ - \sqrt 3  - 3}}{2};\dfrac{{\sqrt 3  - 3}}{2}} \right\}.\)