Bài 54 trang 86 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Dựng hình thang cân \(ABCD\) \((AB // CD),\) biết hai đáy \(AB = 2cm,\) \( CD = 4cm,\) đường cao \(AH = 2cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Phân tích: 

     +) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

     +) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

     +) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải chi tiết

Phân tích: Giả sử hình thang \(ABCD\) dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác \(ADH\) dựng được vì biết hai cạnh góc vuông \(AH = 2cm\) và \(HD = 1cm,\) \(\widehat H = {90^0}\). Vì đáy \(AB < CD\) nên \(\widehat D < {90^0}\). Điểm \(H\) nằm giữa \(D\) và \(C\).

Điểm \(C\) nằm trên tia đối tia \(HD\) và cách \(H\) một khoảng bằng \(3cm\)

Điểm \(B\) thỏa mãn hai điều kiện:

- \(B\) nằm trên đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(DH.\)

- \(B\) cách \(A\) một khoảng bằng \(2cm\)

Cách dựng:

- Dựng \(∆ AHD\) biết \(\widehat H = 90^0,\) \(AH =2cm,\) \(HD = 1cm\)

- Dựng tia đối của tia \(HD\)

- Trên tia đối của tia \(HD,\) dựng điểm \(C\) sao cho \(HC = 3cm\)

- Dựng tia \(Ax // DH,\) \(Ax\) nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(AD\) chứa điểm \(H\)

- Dựng điểm \(B\) trên tia \(Ax\) sao cho \(AB = 2cm.\) Nối \(CB\) ta có hình thang \(ABCD\) cần dựng.

Chứng minh:

Tứ giác \(ABCD\) là hình thang vì \(AB // CD\)

Kẻ \(BK ⊥ CD.\) Tứ giác \(ABKH\) là hình thang có hai cạnh bên song song

Nên :   \(BK = AH\) và \(KH = AB\)

Suy ra: \(KC = HC – KH = HC – AB\)\( = 3− 2 = 1 \;\;(cm)\)

Vì \(AH=BK\) và \(KC=DH\,(=1cm)\)

Suy ra hai tam giác vuông: \(∆ AHD = ∆ BKC \;\;(c.g.c) \) \(\Rightarrow \widehat D = \widehat C\)

Vậy hình thang \(ABCD\) là hình thang cân.

Hình thang cân \(ABCD\) có: \(AH = 2cm,\) đáy \(AB = 2cm,\) đáy \(CD = 4cm\)

Thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: Tam giác \(AHD\) luôn dựng được nên hình thang \(ABCD\) luôn dựng được. Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện bài toán.