Bài 55 trang 86 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Dựng hình thang \(ABCD,\) biết hai đáy \(AB = 2cm,\) \(CD = 4cm,\) \(\widehat C = {50^0},\widehat D = {70^0}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Phân tích: 

     +) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

     +) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

     +) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải chi tiết

Phân tích: Giả sử hình thang \(ABCD\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(CD\) tại \(E.\) Hình thang \(ABCE\) có hai cạnh bên song song nên \(AB = EC = 2cm\) do đó \(DE = 2cm\)

Tam giác \(ADE\) dựng được vì biết \(2\) góc kề với một cạnh.

Điểm \(C\) nằm trên tia \(DE\) cách \(D\) một khoảng bằng \(4cm\)

Điểm \(B\) thỏa mãn hai điều kiện:

- \(B\) nằm trên đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(CD.\)

- \(B\) nằm trên đường thẳng đi qua \(C\) và song song với \(AE.\)

Cách dựng:

- Dựng tam giác \(ADE\) biết \(DE = 2cm,\) \(\widehat D = {70^0},\)\(\widehat E = {50^0}\) 

- Trên tia \(DE\) lấy điểm \(C\) sao cho \(DC = 4cm\)

- Dựng tia \(Ax // CD,\) \(Ax\) nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(AD\) chứa điểm \(C\)

- Dựng tia \(Cy // AE,\) \(Cy\) nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(CD\) chứa điểm \(A.\) \(Cy\) cắt \(Ax\) tại \(B.\) Hình thang \(ABCD\) cần dựng.

Chứng minh:

Tứ giác \(ABCD\) là hình thang vì \(AB // CD\)

\(CD = CE + ED\)\( ⇒ CE = CD – ED \)\(= 4 – 2 =2 \;\;(cm)\)

Hình thang \(ABCE\) có hai cạnh bên \(AE // CB\)

\(⇒ AB = CE = 2\;\; (cm)\)

\(\widehat C = \widehat E = {50^0}\) (hai góc đồng vị)

\(\widehat D = {70^0}\)

Hình thang \(ABCD\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: Tam giác \(ADE\) luôn dựng được, hình thang \(ABCD\) luôn dựng được. Ta dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện bài toán.