Giải Bài 56 trang 85 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:

a) \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)

b) CN = MA;

c) Nếu a song song với BC thì MA = AN.

 

 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng tổng ba góc trong một tam giác để chứng minh \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)

- Chứng minh: \(\Delta MAB = \Delta NCA\) suy ra MA = NC

- Chứng minh: Nếu a // BC suy ra MA = MB (1)

Nếu a // BC suy ra CN = AN (2)

Từ (1), (2) và câu a) suy ra MA = AN.

 

 

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆MAB vuông tại M có: \(\widehat {ABM} + \widehat {MAB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90o).

Ta có \(\widehat {MAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAN} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {MAB} + \widehat {CAN} = 180^\circ  - \widehat {BAC} = 90^\circ \)

Lại có \(\widehat {ABM} + \widehat {MAB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)

Vậy \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)

b) Xét ∆MAB và ∆NCA có:

\(\widehat {BMA} = \widehat {ANC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),

\(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\) (chứng minh câu a).

Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).

Vậy MA = NC.

c) Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\)

 Lại có \(\widehat {ACB} + \widehat {ABC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của tam giác ABC)

Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC} = \frac{{180^\circ  - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

• Nếu a // BC thì \(\widehat {MAB} = \widehat {ABC}\) (hai góc so le trong).

Do đó \(\widehat {MAB} = 45^\circ \)

Xét ∆ABM có \(\widehat {AMB} + \widehat {MBA} + \widehat {MAB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \(\widehat {MBA} = 180^\circ  - \widehat {AMB} - \widehat {MAB} = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ \)

Do đó \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA}\) (cùng bằng 45°).

Xét ∆AMB có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) và \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA}\) nên ∆AMB vuông cân tại M.

Suy ra MA = MB (1)

• Nếu a // BC thì \(\widehat {CAN} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (hai góc so le trong)

Xét ∆ABM có \(\widehat {ACN} + \widehat {ANC} + \widehat {CAN} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

 

Suy ra \(\widehat {ACN} = 180^\circ  - \widehat {ANC} - \widehat {CAN} = 180^\circ  - 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ \)

 Do đó \(\widehat {ACN} = \widehat {CAN}\) (cùng bằng 45°).

Xét ∆ANC có \(\widehat {ANC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACN} = \widehat {CAN}\) nên ∆ANC vuông cân tại N.

Suy ra CN = AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.

Vậy MA = AN.

 
Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved