Bài 59 trang 126 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Trên \(AC\) lấy một điểm \(D\) và vẽ đường tròn đường kính \(MC\). Kẻ \(BM\) cắt đường tròn tại \(D\). Đường thẳng \(DA\) cắt đường tròn tại \(S\). Chứng minh rằng:

a) \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp

b) \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\)

c) \(CA\) là tia phân giác của góc \(SCB\) 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Nếu hai đỉnh kề một cạnh của một tứ giác cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.

+ Sử dụng: “Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau”

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết ta có :

\(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

\(\widehat {MDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(MC\))

Hai điểm \(A\) và \(D\) cùng nhìn đoạn thẳng \(BC\) cố định dưới góc \(90^\circ \) nên \(A\) và \(D\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Vậy \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(BC.\)

b) Vì \(ABCD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) nên ta có:

 \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\)  (cùng chắn cung \(AD\)).

c) Trong đường tròn đường kính \(MC\) ta có:

 \(\widehat {MCS} = \widehat {MDS}\) (vì cùng chắn cung \(MS\))                 (1)

Xét đường tròn đường kính \(BC\) ta có:

  \(\widehat {BCA} = \widehat {BDA}\) (vì cùng chắn cung \(BA\))                 (2)

Từ (1) và (2) ta có  \(\widehat {BCA} = \widehat {ACS}.\)

Vậy  tia \(CA\) là tia phân giác của góc \(SCB.\)