Bài 6 trang 193 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Chứng minh đẳng thức 

\(\left( {\dfrac{1}{{a - \sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt a  - 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{a - 2\sqrt a  + 1}}\)\(= \dfrac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a }}\) với \(a > 0,a \ne 1\)

Lời giải chi tiết

Biến đổi vế trái ta được:

\(VT=\left( {\dfrac{1}{{a - \sqrt a }} + \dfrac{1}{{\sqrt a  - 1}}} \right)\)\(:\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{a - 2\sqrt a  + 1}}\)

\(=\left( {\dfrac{1}{{ \sqrt a.(\sqrt a-1) }} + \dfrac{1}{{\sqrt a  - 1}}} \right)\)\(:\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}\) 

\(= \dfrac{{1 + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}\)

\( = \dfrac{{1 + \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {a + 1} }}\)

\(= \dfrac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a }}(=VP)\)

Vậy đẳng thức được chứng minh.