Bài 1. Định lí Ta-lét trong tam giác
Bài 2. Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét
Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác
Bài 4. Khái niệm hai tam giác đồng dạng
Bài 5. Trường hợp đồng dạng thứ nhất (c.c.c)
Bài 6. Trường hợp đồng dạng thứ hai (c.g.c)
Bài 7. Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)
Bài 8. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
Ôn tập chương III. Tam giác đồng dạng
Bài 1. Hình hộp chữ nhật
Bài 2. Hình hộp chữ nhật (tiếp)
Bài 3. Thể tích của hình hộp chữ nhật
Bài 4. Hình lăng trụ đứng
Bài 5. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng
Bài 6. Thể tích của hình lăng trụ đứng
Bài 7. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
Bài 8. Diện tích xung quanh của hình chóp đều
Bài 9. Thể tích của hình chóp đều
Ôn tập chương IV. Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều
Đề bài
Tam giác \(ABC\) có hai trung tuyến \(AK\) và \(CL\) cắt nhau tại \(O.\) Từ một điểm \(P\) bất kì trên cạnh \(AC\), vẽ các đường thẳng \(PE\) song song với \(AK,\) \(PF\) song song với \(CL\) (\(E\) thuộc \(BC,\) \(F\) thuộc \(AB\)). Các trung tuyến \(AK, CL\) cắt đoạn thẳng \(EF\) theo thứ tự tại \(M, N\).
Chứng minh rằng các đoạn thẳng \(FM, MN, NE\) bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
- Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Lời giải chi tiết
Gọi \(Q\) là giao điểm của \(PF\) và \(AK,\) \(I\) là giao điểm của \(PE\) và \(CL.\)
Vì \(O\) là giao của hai đường trung tuyến \(AK, CL\) nên \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)
Suy ra \(\displaystyle LO = {1 \over 3} CL\) và \(OK = \displaystyle{1 \over 3}AK\) (tính chất trọng tâm)
Trong tam giác \(FPE\) có \( PE // AK\) hay \(QM // PE\)
Theo định lí Ta-lét ta có: \( \displaystyle {{FQ} \over {FP}} = {{FM} \over {FE}}\) (1)
Trong tam giác \(ALO\) có \(PF // CL\) hay \(FQ // LO\)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle {{AF} \over {AL}} = {{FQ} \over {LO}}\) (2)
Trong tam giác \(ALC\) có \(PF // CL\)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{AF} \over {AL}} = {{FP} \over {CL}}\) (3)
Từ (2) và (3) suy ra \(\displaystyle{{FQ} \over {LO}} = {{FP} \over {CL}} \)\(\displaystyle\,\Rightarrow {{FQ} \over {FP}} = {{LO} \over {CL}}\)
Vì \(\displaystyle LO = {1 \over 3} CL\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle{{FQ} \over {FP}} = {1 \over 3}\) (4)
Từ (1) và (4) suy ra \(\displaystyle{{FM} \over {FE}} = {1 \over 3} \)\(\,\displaystyle\Rightarrow FM = {1 \over 3}FE\)
Trong tam giác \(EPF\) có \(PF // CL\) hay \(NI // PF\)
Theo định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{EI} \over {EP}} = {{EN} \over {EF}}\) (5)
Trong tam giác \(CKO\) có \(EI // OK\)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{CE} \over {CK}} = {{EI} \over {KO}}\) (6)
Trong tam giác \(CKA\) có \(PE // AK\)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle {{CE} \over {CK}} = {{EP} \over {AK}}\) (7)
Từ (6) và (7) suy ra: \(\displaystyle {{EI} \over {OK}} = {{EP} \over {AK}}\) \(\displaystyle \Rightarrow {{EI} \over {EP}} = {{OK} \over {AK}} \)
Vì \(OK = \displaystyle{1 \over 3}AK\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle{{EI} \over {EP}} = {1 \over 3}\) (8)
Từ (5) và (8) suy ra: \(\displaystyle {{EN} \over {EF}} = {1 \over 3} \)\(\,\displaystyle \Rightarrow EN = {1 \over 3}EF \)
Ta có:
\(\eqalign{ & MN = EF - \left( {EN + FM} \right) \cr & \;\;\;\;\;\; \;\;= EF - \left( {{1 \over 3}EF + {1 \over 3}EF} \right) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 3}EF \cr} \)
Vậy \(EN = MN = MF.\)
Tiếng Anh 8 mới tập 1
Tải 30 đề ôn tập kiểm tra học kì 1 Toán 8
Tải 10 đề kiểm tra 15 phút - Chương 2
Tải 20 đề kiểm tra giữa kì 1 Tiếng Anh 8 mới
Tải 10 đề thi giữa kì 2 Văn 8
SGK Toán Lớp 8
Giải bài tập Toán Lớp 8
Tài liệu Dạy - học Toán Lớp 8
Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 8
SGK Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 8 - Cánh Diều
SGK Toán 8 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 8 - Cánh Diều
SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo
VBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Tổng hợp Lí thuyết Toán 8
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 8