Bài 65 trang 151 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

1) Kim tự tháp Kê-ốp (Thế kỉ 25 trước Công nguyên) là một hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng \(233m\), chiều cao hình chóp \(146,5m.\)

a. Độ dài cạnh bên là bao nhiêu?

b. Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

c. Tính thể tích hình chóp.

2) Kim tự tháp Lu-vrơ (Louvre) (Xây dựng vào năm 1988).

Người ta làm mô hình một kim tự tháp ở cổng vào của bảo tàng Lu-vrơ (Pháp). Mô hình có dạng chóp đều chiều cao \(21m,\) độ dài cạnh đáy là \(34m.\)

a. Cạnh bên của hình chóp là bao nhiêu?

b. Tính thể tích hình chóp.

c. Tính tổng diện tích các tấm kính để phủ lên hình chóp này \(({S_{xq}})\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Thể tích của hình chóp đều bằng một phần ba diện tích mặt đáy nhân với chiều cao.

\(V = \dfrac{1}{3} .S.h\)

Trong đó: \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.

- Định lí Pytago trong tam giác vuông: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.

-  Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn.

\({S_{xq}} = pd\)

Trong đó: \(p\) là nửa chu vi đáy, \(d\) là trung đoạn của hình chóp đều.

Lời giải chi tiết

1) Giả sử kim tự tháp  Kê-ốp là hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD.\)

a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AOB\), ta có:

\(O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\)

\( \Rightarrow 2.O{A^2} = A{B^2}\)

\( \displaystyle \Rightarrow O{A^2} = {{A{B^2}} \over 2} =\frac{{{{233}^2}}}{2}= 27144,5\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(SOA\), ta có:

\( S{A^2} = S{O^2} + O{A^2}\)\(\, = 146,{5^2} + 27144,{5} = 48606,75 \)

\( \Rightarrow  SA = \sqrt {48606,75}  \approx 220,5\;(m). \)

b) Kẻ \(SK ⊥ BC.\)

Vì tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) nên \(SK\) vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy \(BC\).

Ta có \(\displaystyle BK = KC = {1 \over 2}BC =\dfrac{{233}}{2}= 116,5\)\(\,(m)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(SKB\), ta có:

\(S{B^2} = S{K^2} + B{K^2}\)

\( \Rightarrow  S{K^2} = S{B^2} - B{K^2}  \)\(\,  = 48606,75 - 116,5^2 = 35034,5\)

\( \Rightarrow  SK = \sqrt {35034,5} \;(m) \)

Diện tích xung quanh của kim tự tháp là:

\(S_{xq} = \left( {233.2} \right).\sqrt {35034,5}  \approx 87223,6\)\(\;({m^2})\)

c) Thể tích hình chóp là:

\(V = \displaystyle{1 \over 3}S_{ABCD}.h = \displaystyle{1 \over 3}.233^2.146,5\)\(\, = 2651112,8\;({m^3})\)

2) Giả sử kim tự tháp Lu-vrơ (Louvre) là hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD.\)

a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AOB\), ta có:

\(O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\)

\( \Rightarrow 2.O{A^2} = A{B^2}\)

\( \displaystyle \Rightarrow O{A^2} = {{A{B^2}} \over 2} =\frac{{{{34}^2}}}{2}= 578\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(SOA\), ta có:

\( S{A^2} = S{O^2} + O{A^2}\)\(\, = 21{^2} + 578 = 1019 \)

\( \Rightarrow  SA = \sqrt {1019}  \approx 31,9\;(m). \)

b) Thể tích hình chóp là:

\(V = \displaystyle{1 \over 3}S.h = \displaystyle{1 \over 3}.34^2.21\)\(\, = 8092\;({m^3})\)

c) Kẻ \(SK ⊥ BC.\)

Vì tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) nên \(SK\) vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy \(BC\).

Ta có \(\displaystyle BK = KC = {1 \over 2}BC =\dfrac{{34}}{2}= 17\)\(\,(m)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(SKB\), ta có:

\(S{B^2} = S{K^2} + B{K^2}\)

\( \Rightarrow  S{K^2} = S{B^2} - B{K^2}  \)\(\,  = 1019 - 17^2 = 730\)

\( \Rightarrow  SK = \sqrt {730} \;(m) \)

Diện tích xung quanh của kim tự tháp là:

\(S_{xq} = \left( {34.2} \right).\sqrt {730}  \approx 1837,3\)\(\;({m^2})\)