Bài 65 trang 167 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\) như trên hình \(77.\) Biết \(OA = 15cm,\) \(O’A = 13cm,\) \(AB = 24cm.\) Tính độ dài \(OO’.\) 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

+) Nếu \(OO' = R + r\) thì đường tròn \((O)\) và đường tròn \((O')\) tiếp xúc ngoài. 

Lời giải chi tiết

Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(OO’.\)

Suy ra \( OO’ ⊥ AB\) tại \(H.\)

Vì \(OO’\) là đường trung trực của \(AB\) (do hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\)) nên:

\(HA = HB = \displaystyle{1 \over 2}AB \)\(= \displaystyle{1 \over 2}.24 = 12 (cm)\)

Áp dụng định lí \(Py-ta-go\) vào tam giác vuông \(AOH,\) ta có:  \(AO^2=OH^2+AH^2\)

Suy ra: \( OH^2 = OA^2- AH^2 \)\(= 15^2 – 12^2 = 81\)

\(\Rightarrow  OH = 9 (cm)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AO’H,\) ta có:\(AO'^2=O'H^2+AH^2\)

Suy ra: \( O'H^2 = O'A^2- AH^2 \)\(= 13^2 – 12^2 = 25\)

 \(\Rightarrow  O'H = 5 (cm)\) 

Vậy \(OO’ =  OH + O’H \)\(= 9 + 5 = 14 (cm).\)