Bài 68 trang 168 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO’.\) Qua \(A\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(IA,\) cắt các đường tròn \((O)\) và \((O’)\) tại \(C\) và \(D\) (khác \(A\)). Chứng minh rằng \(AC = AD.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức: 

+) Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải chi tiết

Kẻ \(OH ⊥ CD, O’K ⊥ CD\)

Ta có: \(IA ⊥ CD\)

Suy ra: \(OH // IA // O’K\)

Theo giả thiết: \(IO = IO’\)

Suy ra: \(AH = AK\)  \( (1)\) (tính chất đường thẳng song song cách đều)

Xét đường tròn (O) có \(OH ⊥ AC\) mà OH là 1 phần đường kính và AC là dây cung

Suy ra: \(HA = HC = \displaystyle {1 \over 2}AC\) (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

\(⇒AC = 2AH   \;       (2)\)

Xét đường tròn (O') có \(O’K ⊥ AD\) mà O'K là 1 phần đường kính và AD là dây cung

Suy ra: \(KA = KD = \displaystyle {1 \over 2}AD\) ( quan hệ giữa đường kính và dây cung)

\(⇒ AD = 2AK     \;    (3)\)

Từ \((1), (2)\) và \((3)\) suy ra: \(AC = AD.\)