Bài 69 trang 152 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tính diện tích toàn phần của hình chóp đều sau đây:

a) Hình cho theo các kích thước trên hình 152.

b) Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy \(6cm,\) chiều cao hình chóp \(5cm.\)

c) Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy \(20cm,\) chiều cao hình chóp \(7cm.\)

d) Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy \(1m,\) chiều cao hình chóp \(50cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Định lí Pytago trong tam giác vuông: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.

-  Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn.

\({S_{xq}} = pd\)

Trong đó: \(p\) là nửa chu vi đáy, \(d\) là trung đoạn của hình chóp đều.

- Diện tích toàn phần của hình chóp bằng diện tích xung quanh cộng diện tích đáy hình chóp.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(AO\) là đường cao hình chóp nên \(∆ AOM \) vuông tại \(O.\)

Ta có: \(\displaystyle OM = {1 \over 2}CD={1 \over 2}.6 = 3\;(cm)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AOM\), ta có:

\( A{M^2} = A{O^2} + O{M^2}  = {8^2} + {3^2} = 73\)

\( \Rightarrow AM = \sqrt {73} \;(cm)=d\)

Nửa chu vi đáy \(p=\dfrac{1}{2}.6.4=12\,(cm)\)

Ta có: \({S_{xq}} = pd   = 12\sqrt {73} \;(c{m^2})\).

Diện tích đáy \(BCDE\) là  \(S_đ= 6.6 =36 \;(cm^2)\).

Diện tích toàn phần của hình chóp là:

\({S_{TP}} = {S_{xq}} + {S_đ}\)\(\,= 12\sqrt {73}  + 36 \approx 138,5\;(c{m^2})\)

b) Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng \(6cm\), chiều cao hình chóp bằng \(5cm.\)

Tương tự hình vẽ câu a ta có \(MA ⊥ BC.\)

Ta có \(\displaystyle OM = {1 \over 2}CD={1 \over 2}.6 = 3\;(cm)\)

Vì \(AO\) là đường cao của hình chóp nên \(∆ AOM\) vuông tại \(O.\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AOM,\) ta có:

\( A{M^2} = O{A^2} + O{M^2}  \)\(\,= 5^2 + 3^2 = 34  \)

\( \Rightarrow AM = \sqrt {34}\;(cm)=d \)

Nửa chu vi đáy \(p=\dfrac{1}{2}.6.4=12\,(cm)\)

Diện tích xung quanh hình chóp là:

\(S_{xq}=p.d = 12\sqrt {34} (c{m^2})\)

Diện tích đáy \(BCDE\) là  \(S_đ= 6.6 =36 \;(cm^2)\).

Diện tích toàn phần của hình chóp là:

\({S_{TP}} = {S_{xq}} + {S_đ}\)\(\,=12\sqrt {34}  + 36 \approx 106\,(c{m^2})\)

c) Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng \(20cm,\) chiều cao hình chóp bằng \(7cm.\)

Tương tự hình vẽ câu a ta có: \(MA ⊥ BC,CD=20cm,OA=7cm.\)

Ta có \(\displaystyle OM = {1 \over 2}CD={1 \over 2}.20 = 10\;(cm)\)

Vì \(AO \) là đường cao của hình chóp nên \(∆ AOM\) vuông tại \(O.\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AOM,\) ta có:

\( A{M^2} = O{A^2} + O{M^2}  \)\(\,= 7^2 + 10^2 = 149  \)

\( \Rightarrow AM = \sqrt {149}\;(cm)=d \)

Nửa chu vi đáy \(p=\dfrac{1}{2}.20.4=40\,(cm)\) 

Diện tích xung quanh hình chóp là:

\(S_{xq}=p.d = 40\sqrt {149} (c{m^2})\)

Diện tích đáy \(BCDE\) là  \(S_đ= 20.20 =400 \;(cm^2)\).

Diện tích toàn phần của hình chóp là:

\({S_{TP}} = {S_{xq}} + {S_đ}\)\(\,=40\sqrt {149}  + 400 \approx 888,3\,(c{m^2})\)

d) Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng \(1m\), chiều cao hình chóp bằng \(50cm.\)

Tương tự hình vẽ câu a ta có \(MA ⊥ BC,CD=1m,OA=50cm=0,5m.\)

Ta có \(\displaystyle OM = {1 \over 2}CD={1 \over 2}.1 = 0,5\;(m)\)

Vì \(AO\) là đường cao của hình chóp nên \(∆ AOM\) vuông tại \(O.\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AOM,\) ta có:

\( A{M^2} = O{A^2} + O{M^2}  \)\(\,= 0,5^2 + 0,5^2 = 0,5  \)

\( \Rightarrow AM = \sqrt {0,5}\;(m)=d \)

Nửa chu vi đáy \(p=\dfrac{1}{2}.1.4=2\,(m)\)

Diện tích xung quanh hình chóp là:

\(S_{xq}=p.d=2.\sqrt {0,5}  ({m^2})\)

Diện tích đáy \(BCDE\) là  \(S_đ= 1.1 =1 \;(m^2)\).

Diện tích toàn phần của hình chóp là:

\({S_{TP}} = {S_{xq}} + {S_đ}\)\(\,=2\sqrt {0,5}  + 1 \approx 2,4\,({m^2})\)