Bài 69 trang 168 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B,\) trong đó \(O’\) nằm trên đường tròn \((O).\) Kẻ đường kính \(O’OC\) của đường tròn \((O).\)

\(a)\) Chứng minh rằng \(CA, CB\) là các tiếp tuyến của đường tròn \((O’)\)

\(b)\) Đường vuông góc với \(AO’\) tại \(O’\) cắt \(CB\) ở \(I.\) Đường vuông góc với \(AC\)  tại \(C\) cắt đường thẳng \(O’B\) ở \(K.\) Chứng minh rằng ba điểm \(O, I, K\) thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

+) Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể dùng tính chất đường trung trực: chứng minh ba điểm đó cùng cách đều hai đầu mút đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Tam giác \(AO’C\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(O’C\) là đường kính nên \(\widehat {O'AC} = 90^\circ \)

Suy ra: \(CA ⊥ O’A\) tại điểm \(A\)

Vậy \(CA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O’)\)

Tam giác \(BO’C\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(O’C\) là đường kính nên \(\widehat {O'BC} = 90^\circ \)

Suy ra: \(CB ⊥ O’B\) tại điểm \(B\)

Vậy \(CB\) là tiếp tuyến đường tròn \((O’)\)

\(b)\) Trong đường tròn \((O’)\) ta có \(AC\) và \(BC\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(C.\)

Suy ra: \(\widehat {AO'C} = \widehat {BO'C}\) và \(\widehat {ACO'} = \widehat {BCO'}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(O’I ⊥ O’A\) (gt)

\(CA ⊥ O’A\) (chứng minh trên)

Suy ra: \(O’I // CA\) \( \Rightarrow \widehat {ACO'} = \widehat {CO'I}\) (hai góc so le trong)

Suy ra: \(\widehat {BCO'} = \widehat {CO'I}\)

Hay tam giác \(CIO’\) cân tại \(I \)\(⇒ IC = IO’\)

Khi đó \(I\) nằm trên đường trung trực của \(O’C\)

Lại có: \(\widehat {AO'C} = \widehat {BO'C}\) (chứng minh trên)

\(KC ⊥ CA \;\;(gt)\)

\(  O’A ⊥ AC\) (chứng minh trên)

Suy ra:\( KC // O’A\) \(\Rightarrow \widehat {AO'C} = \widehat {O'CK}\) (hai góc so le trong)

Suy ra: \(\widehat {O'CK} = \widehat {KO'C}\)

Hay tam giác \(CKO’\) cân tại \(K\)\( ⇒ KC = KO’\)

Khi đó \(K\) nằm trên đường trung trực của \(O’C\)

Mặt khác: \(OC = OO’ \) (= bán kính đường tròn (O))

Suy ra \(O, I, K\) nằm trên đường trung trực của \(O’C.\)

Vậy \(O, I, K\) thẳng hàng.