Bài 70 trang 168 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B.\) Dây \(AC\) của đường tròn \((O)\) tiếp xúc với đường tròn \((O’)\) tại \(A.\) Dây \(AD\) của đường tròn \((O’)\) tiếp xúc với đường tròn \((O)\) tại \(A.\) Gọi \(K\) là điểm đối xứng với \(A\) qua trung điểm \(I\) của \(OO’,\) \(E\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(B.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) \(AB ⊥ KB;\)

\(b)\) Bốn điểm \(A, C, E, D\) nằm trên cùng một đường tròn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là trung trực của dây chung.

+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, ta chứng minh chúng cùng cách đều một điểm.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(OO’.\)

Vì hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\) nên \(OO’\) là đường trung trực của \(AB\)

Hay \(OO’ ⊥ AB\) tại \(H\) và \(HA = HB\)

Lại có \(I\) là trung điểm của \(OO’\) nên \(IH ⊥ AB\;\;      (1)\)

Trong tam giác \(ABK,\) ta có:

\(HA = HB\) (chứng minh trên)

\(IA =  IK\) (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra \(IH\) là đường trung bình của tam giác \(ABK\)

Suy ra \(IH // BK      \;\;           (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(AB ⊥KB\)

\(b)\) Vì  \(AB ⊥ KB\) nên \(AE ⊥ KB\)

Lại có: \(AB = BE\) ( tính chất đối xứng tâm)

Suy ra KB là đường trung trực của AE

Do đó: \(KA = KE\) ( tính chất đường trung trực)       \((3)\)

Ta có:  \(IO = IO’\;\; (gt)\)

\(IA = IK \) ( chứng minh trên)

Tứ giác \(AOKO’\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Suy ra: \(OK // O’A\) và \(OA // O’K\)

\(CA ⊥ O’A \) (vì \(CA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O’)\))

\(OK // O’A\) ( chứng minh trên)

Suy ra: \(OK ⊥ AC\)

Xét đường tròn (O) có \(OK ⊥ AC\) mà OK là 1 phần đường kính và AC là dây cung nên OK đi qua trung điểm của AC.

Khi đó \(OK\) là đường trung trực của \(AC\)

Suy ra: \(KA = KC\) ( tính chất đường trung trực)         \((4)\)

\(DA ⊥ OA\) ( vì \(DA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\))

\(O’K // OA\) ( chứng minh trên)

Suy ra: \(O’K  ⊥ DA\)

Xét đường tròn (O') có \(O'K ⊥ DA\) mà O'K là 1 phần đường kính và AD là dây cung nên O'K đi qua trung điểm của AD.

Khi đó \(O’K\) là đường trung trực của \(AD\)

Suy ra: \(KA = KD\) ( tính chất đường trung trực)       \((5)\)

Từ \((3),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(KA = KC = KE = KD\)

Vậy bốn điểm \(A, C, E, D\) cùng nằm trên một đường tròn.