Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:
a) BM = CN;
b) Tam giác GBC là tam giác cân;
c) AG vuông góc với BC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng tính chất ba đường trung tuyến để chứng minh: \(\Delta ABM = \Delta ACN(c - g - c)\) suy ra BM = CN.
- Chứng minh: \(\widehat {GBC} = \widehat {GCB}\) suy ra tam giác GBC cân tại G.
- Chứng minh: AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Suy ra: AG vuông góc với BC.
Lời giải chi tiết
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\).
Vì BM, CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.
Do đó AM = MC, AN = NB.
Mà AB = AC
Suy ra AM = MC = AN = NB.
Xét ∆ABM và ∆ACN có:
AB = AC (chứng minh trên),
\(\widehat {BAC}\) là góc chung,
AM = AN (chứng minh trên)
Do đó ∆ABM = ∆ACN (c.g.c).
Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng).
Vậy BM = CN.
b) Do ∆AMB = ∆ANC (câu a) suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (hai góc tương ứng).
Ta có \(\widehat {ACB} = \widehat {ACN} + \widehat {NCB}\), .
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) và \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\).
Nên \(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\) hay \(\widehat {GBC} = \widehat {GCB}\).
Suy ra tam giác GBC cân tại G.
Vậy tam giác GBC cân tại G
c) Ta có AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Theo câu b tam giác GBC cân tại G nên GB = GC (hai cạnh bên).
Do đó G nằm trên trung trực của đoạn thẳng BC.
Suy ra AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên AG vuông góc với BC tại trung điểm của BC.
Vậy AG vuông góc với BC.
SGK Toán - Kết nối tri thức Lớp 7
SGK Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 7
SGK Toán - Cánh diều Lớp 7
SBT Toán - Kết nối tri thức Lớp 7
SBT Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 7
Lý thuyết Toán Lớp 7
Tài liệu Dạy - học Toán Lớp 7
Vở thực hành Toán Lớp 7
Đề thi, đề kiểm tra Toán - Cánh diều Lớp 7
Đề thi, đề kiểm tra Toán - Kết nối tri thức Lớp 7
Đề thi, đề kiểm tra Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 7
Bài tập trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
Bài tập trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
Bài tập trắc nghiệm Toán - Cánh diều
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 7