Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) đến mặt phẳng\(\left( {ABC} \right)\). Chứng minh rằng:

a)\(BC \bot \left( {OAH} \right)\);

b) \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\);

c) \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

2. Phương pháp giải

Áp dụng định lý sau

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng

một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

+ \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\b \subset \alpha \end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

a) Chứng minh \(OA \bot BC\), \(OH \bot BC\).

b) Chứng minh \(BC \bot AH\), \(CA \bot BH\) suy ra \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

c) + Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\),

+ Chứng minh \(OK\) là đường cao của tam giác vuông \(OBC\) và \(OH\) là đường cao của tam giác vuông \(OAK\).

+ Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông \(OBC\) và \(OAK\)

3. Lời giải chi tiết

a) Vì \(OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\), suy ra. \(OA \bot BC\)

Vì \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) nên\(OH \bot BC\),suy ra\(BC \bot \left( {OAH} \right)\).

b) Vì \(BC \bot \left( {OAH} \right)\) nên \(BC \bot AH\).

Tương tự, \(CA \bot BH\), do đó \(H\) là trực tâm của tam giác\(ABC\).

c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\),

Ta có: \(OK \bot BC\) và \(OA \bot OK\) nên \(OK\) là đường cao của tam giác vuông \(OBC\) và là đường cao của tam giác vuông \(OAK\).

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông \(OBC\) và\(OAK\), ta có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}}\) và \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Từ đó suy ra: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài 24. Phép chiếu vuông góc với mặt phẳng

Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 26. Khoảng cách

Bài 27. Thể tích

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024