Bài 78 trang 170 SBT toán 9 Tập 1

Đề bài

Cho đường tròn \((O ; 2cm)\) và \((O’ ; 3cm),\) \(OO’ = 6cm.\)

\(a)\) Hai đường tròn \((O), (O’)\) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau\(?\)

\(b)\) Vẽ đường tròn \((O',1cm)\) rồi kẻ tiếp tuyến \(OA\) với đường tròn đó ( \(A\) là tiếp điểm). Tia \(O’A\) cắt đường tròn \((O’ ; 3cm)\) ở \(B.\) Kẻ bán kính \(OC\) của đường tròn \((O)\) song song với \(O’B, B\) và \(C\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ \(OO’.\) Chứng minh rằng \(BC\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (\(O ; 2cm)\) và \((O’ ; 3cm).\)

\(c)\) Tính độ dài \(BC.\)

\(d)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BC\) và \(OO’.\) Tính độ dài \(IO.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu \(OO'> R + r\) thì đường tròn \((O)\) và đường tròn \((O')\) ở ngoài nhau.

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

+) Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Vì \(OO’ = 6 > 2 + 3\) hay \(OO’ > R + R’\) nên hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) ở ngoài nhau.

\(b)\) Xét tứ giác \(ABCO\)  ta có:

         \(AB // CO\;\; (gt)   \;\;                                   (1)\)

Mà:       \( AB = O’B – O’A = 3 – 1 = 2 \;(cm)\)

Suy ra:   \(AB = OC = 2\; (cm)            \;\;                   (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(ABCO\) là hình bình hành.

Lại có: \(OA  ⊥ O’A\) ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: \(\widehat {OAO'} = 90^\circ \) hay \(\widehat {OAB} = 90^\circ \)

Tứ giác \(ABCO\) là hình chữ nhật

Suy ra: \(\widehat {OCB} = \widehat {ABC} = 90^\circ \)

Suy ra: \(BC  ⊥ OC \) và \(BC ⊥ O’B\)

Vậy \(BC\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \((O)\) và \((O’).\)

\(c)\) Vì tứ giác \(ABCO\) là hình chữ nhật nên \(OA = BC\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(OAO’,\) ta có:

\(OO'^2=OA^2+O'A^2\)

\(\Rightarrow OA^2=OO'^2-O'A^2\)\(=6^2-1^2=35\)

\(⇒ OA =\sqrt {35}(cm)\)

Vậy \(BC = \sqrt {35} (cm)\)

\(d)\) Trong tam giác \(O’BI\) có \(OC // O’B\)

Suy ra: \(\displaystyle {{IO} \over {IO'}} = {{OC} \over {O'B}}\) (hệ quả định lí Ta-lét)

\(⇒\displaystyle {{IO} \over {IO' - IO}} = \displaystyle {{OC} \over {O'B - OC}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle {{IO} \over {O'O}} = {2 \over {3 - 2}} \)

\(\Rightarrow \displaystyle {{IO} \over 6} = {2 \over 1}\)

Vậy \(OI = \displaystyle {{6.2} \over 1} = 12 (cm)\)