Bài 8 trang 153 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Quãng đường \(AB\) gồm một đoạn lên dốc dài \(4\; km\) và một đoạn xuống dốc dài \(5\,km.\) Một người đi xe đạp từ \(A\) đến \(B\) hết \(40\) phút và đi từ \(B\) về \(A\) hết \(41\) phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc. 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bước 1. Lập hệ phương trình:

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số.

+ Biểu thị các dữ kiện chưa biết qua ẩn số.

+ Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết.

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Kiểm tra nghiệm của hệ phương trình (nếu có) với điều kiện ẩn số và đề bài để đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết

Gọi vận tốc lúc lên dốc là \(x\left( {km/h} \right)\), vận tốc lúc xuống dốc là \(y\left( {km/h} \right)\)  \(\left( {x;y > 0} \right)\)

\(40\) phút \(=\dfrac{{40}}{{60}}\,h = \dfrac{2}{3}h\),  \(41\) phút\( = \dfrac{{41}}{{60}}h\)

Thời gian lên dốc và xuống dốc khi đi từ \(A\) đến \(B\) theo thứ tự  là \(\dfrac{4}{x}\) và \(\dfrac{5}{y}\)

Theo đề bài, ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = \dfrac{2}{3}\\\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình trên

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{y}} \right)\\
\dfrac{5}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{y}} \right) + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{y}} \right)\\
\dfrac{5}{6} - \dfrac{{25}}{{4y}} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{y}} \right)\\
\dfrac{{ - 9}}{{4y}} = \dfrac{{ - 3}}{{20}}
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{{15}}} \right)\\
y = 15
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 12\\
y = 15
\end{array} \right.\text{(thỏa mãn)}
\end{array}\)

Vậy vận tốc lúc lên dốc là \(12km/h\), vận tốc lúc xuống dốc là \(15km/h.\)

Đáp số: \(12km/h\), \(15km/h.\)

Chú ý:

Thời gian lên dốc và xuống dốc khi đi từ \(B\) đến \(A\) theo thứ tự  là \(\dfrac{5}{x}\) và \(\dfrac{4}{y}\)

Ta có thể giải hệ phương trình trên bằng phương pháp đặt ẩn phụ như sau:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = u\\\dfrac{1}{y} = v\end{array} \right.\,\left( {u;v \ne 0} \right)\)  ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}4u + 5v = \dfrac{2}{3}\\5u + 4v = \dfrac{{41}}{{60}}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12u + 15v = 2\\300u + 240v = 41\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}192u + 240v = 32\\300u + 240v = 41\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}108u = 9\\12u + 15v = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\12.\dfrac{1}{{12}} + 15v = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)

Thay lại cách đặt ta được \(\left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{12}}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 15\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)