Bài 8 trang 38

Đề bài

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

\({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)

Lời giải chi tiết

Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Ta chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp theo n.

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({(a + b)^1} = C_1^0a + C_1^1b\quad ( = a + b)\)

Như vậy công thức đúng với \(n = 1\)

Bước 2: Giả sử công thức đúng với \(n = k\), nghĩa là có:

\({(a + b)^k} = C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k - 1}}b + ... + C_k^{k - 1}a{b^{k - 1}} + C_k^k{b^k}\)

Ta sẽ chứng minh công thức cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh

\({(a + b)^{k + 1}} = C_{k + 1}^0{a^{k + 1}} + C_{k + 1}^1{a^k}b + ... + C_{k + 1}^ka{b^k} + C_{k + 1}^{k + 1}{b^{k + 1}}\)

Thật vậy ta có

\(\begin{array}{l}{(a + b)^{k + 1}} = {(a + b)^k}(a + b) = \left( {C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k - 1}}b + ... + C_k^{k - 1}a{b^{k - 1}} + C_k^k{b^k}} \right)(a + b)\\ = \left( {C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k - 1}}b + ... + C_k^{k - 1}a{b^{k - 1}} + C_k^k{b^k}} \right)a + \left( {C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k - 1}}b + ... + C_k^{k - 1}a{b^{k - 1}} + C_k^k{b^k}} \right)b\\ = \left( {C_k^0{a^{k + 1}} + C_k^1{a^k}b + ... + C_k^{k - 1}{a^2}{b^{k - 1}} + C_k^ka{b^k}} \right) + \left( {C_k^0{a^k}b + C_k^1{a^{k - 1}}{b^2} + ... + C_k^{k - 1}a{b^k} + C_k^k{b^{k + 1}}} \right)\\ = C_k^0{a^{k + 1}} + \left( {C_k^1 + C_k^0} \right){a^k}b + ... + \left( {C_k^m + C_k^{m - 1}} \right){a^{k + 1 - m}}{b^m} + ... + \left( {C_k^k + C_k^{k - 1}} \right)a{b^k} + C_k^k{b^{k + 1}}\end{array}\)

Mà \(C_k^m + C_k^{m - 1} = C_{k + 1}^m\;(0 \le m \le k),\;C_k^0 = C_{k + 1}^0 = 1,C_k^k = C_{k + 1}^{k + 1} = 1\)

\( \Rightarrow {(a + b)^{k + 1}} = C_{k + 1}^0{a^{k + 1}} + C_{k + 1}^1{a^k}b + ... + C_{k + 1}^ka{b^k} + C_{k + 1}^{k + 1}{b^{k + 1}}\)

Vậy công thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)