Câu hỏi 8 - Mục Bài tập trang 76 - SBT Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

1. Nội dung câu hỏi

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn:

a) \(1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} - \frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} + ...\)

b) \(2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...\)

3. Lời giải chi tiết 

a) Tổng trên là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{{ - 1}}{5}\) nên \(1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} - \frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} + ... = \frac{1}{{1 - \left( { - \frac{1}{5}} \right)}} = \frac{5}{6}\)

b) \(2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...\)\( = 2\left[ {1 + \frac{2}{3} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + ...} \right]\)

Tổng \(1 + \frac{2}{3} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} + ...\) là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{2}{3}\)

Do đó, \(2\left[ {1 + \frac{2}{3} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + ...} \right] = 2.\frac{1}{{1 - \frac{2}{3}}} = 6\)