Câu hỏi 9 - Mục Bài tập trang 76

1. Nội dung câu hỏi

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số:

a) \(0,\left( 7 \right) = 0,777...\);

b) \(1,\left( {45} \right) = 1,454545...\)

3. Lời giải chi tiết 

a) \(0,\left( 7 \right) = 0,777... = 0,7 + 0,07 + 0,007 + ... = 0,7 + 0,7.\frac{1}{{10}} + 0,7.\frac{1}{{{{10}^2}}} + ...\)

Số 0,777… là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 0,7 và công bội bằng \(\frac{1}{{10}}\). Do đó, \(0,\left( 7 \right) = \frac{{0,7}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{7}{9}\)

b) \(1,\left( {45} \right) = 1,454545... = 1 + 0,45 + 0,0045 + 0,000045 + ...\)

\( = 1 + 0,45 + 0,45.\frac{1}{{100}} + 0,45.\frac{1}{{{{100}^2}}} + ...\)

\(0,45 + 0,45.\frac{1}{{100}} + 0,45.\frac{1}{{{{100}^2}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 0,45 và công bội bằng \(\frac{1}{{100}}\). Do đó, \(1,\left( {45} \right) = 1 + \frac{{0,45}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = 1 + \frac{5}{{11}} = \frac{{16}}{{11}}\).