Bài 80 trang 170 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn \((O ; 2cm)\) tiếp xúc với đường thẳng \(d.\) Dựng đường tròn \((O’ ; 1cm)\) tiếp xúc với đường thẳng \(d\) và tiếp xúc ngoài đường tròn \((O).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Phân tích: 

     +) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

     +) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

     +) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải chi tiết

* Phân tích

− Giả sử dựng được đường tròn \((O’; 1cm)\) tiếp xúc với đường thẳng \(d\) và tiếp xúc ngoài với đường tròn \((O ; 2cm).\)

− Đường tròn \((O; 1cm)\) tiếp xúc với \(d\) nên \(O’\) cách \(d\) một khoảng bằng \(1cm.\) Khi đó \(O’\) nằm trên hai đường thẳng \(d_1,\, d_2\) song song với \(d\) và cách \(d\) một khoảng \(1cm.\)

− Đường tròn \((O’; 1cm)\) tiếp xúc với đường tròn \((O; 2cm)\) nên suy ra \(OO’ = 3cm.\) Khi đó \(O’\) là giao điểm của \((O; 3cm)\) với \(d_1\) và \(d_2.\)

* Cách dựng

− Dựng hai đường thẳng \(d_1\)  và \(d_2\)  song song với \(d\) và cách \(d\) một khoảng bằng \(1cm.\)

− Dựng đường tròn \((O; 3cm)\) cắt tại \(d_1\)  tại \(O'_1.\)  Vẽ \((O'_1; 1cm)\) ta có đường tròn cần dựng. 

* Chứng minh

Theo cách dựng, \(O'_1\)  cách d một khoảng bằng \(1cm\) nên \((O'_1; 1cm)\) tiếp xúc với \(d.\)

Vì \(OO'_1=3\;\; cm\) \(= 1cm+2cm\) nên \((O'_1; 1cm)\) tiếp xúc với \((O; 2cm)\)

*  Biện luận: \(O\) cách \(d_1\) một khoảng bằng \(1cm\) nên \((O; 3cm)\) cắt \(d_1\) tại hai điểm phân biệt.

Và \((O; 3cm)\) tiếp xúc với \(d_2\) tại 1 điểm nên bài toán có 3 nghiệm hình (như hìnhh vẽ)