Bài 82 trang 171 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) tiếp xúc ngoài tại \(A.\) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài \(DE, D ∈ (O),\) \(E ∈ (O’).\)  Kẻ tiếp tuyến chung tại \(A,\) cắt \(DE\) ở \(I.\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(OI\) và \(AD,\) \(N\) là giao điểm của \(O’I\) và \(AE.\)

\(a)\) Tứ giác \(AMIN\) là hình gì \(?\) Vì sao \(?\)

\(b)\) Chứng minh hệ thức \(IM.IO = IN.IO’.\)

\(c)\) Chứng minh rằng \(OO’\) là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là \(DE.\)

\(d)\) Tính độ dài \(DE\) biết rằng \(OA = 5cm,\)\( O’A = 3,2cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức: 

\(*\)) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+)  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

\(*\)) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

\(*\)) Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

+) Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

+) Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Trong đường tròn \((O)\) ta có \(OI\) là tia phân giác của góc \(AID\) ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và ID)

Trong đường tròn \((O’)\) ta có \(O’I\) là tia phân giác của góc \(AIE\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và IE)

Mà góc \(AID\) và góc \(AIE\) là hai góc kề bù nên \(IO ⊥ IO'\) ( tính chất hai góc kề bù)

\(\Rightarrow\) \(\widehat {OIO'} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MIN} = 90^\circ \)

Xét đường tròn (O) có \(IA = ID \) ((tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và ID)

\(\Rightarrow\) Tam giác \(ADI\) cân tại \( I.\)

Tam giác \(ADI\) cân tại I có \(IO\) là phân giác của góc \(AID\) nên \(IO\) cũng là đường cao của tam giác \(AID.\)

\(\Rightarrow\) \(IO ⊥ AD\) hay \(\widehat {AMI} = 90^\circ \)

Xét đường tròn (O') có \(IA = IE\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và IE)

\(\Rightarrow\) Tam giác \(AEI\) cân tại \( I.\)

Tam giác cân \(AIE\) có \(IO'\) là phân giác của góc \(AIE\) nên \(IO'\) cũng là đường cao của tam giác \(AIE.\)

\(\Rightarrow\) \(IO' ⊥ AE\) hay \(\widehat {ANI} = 90^\circ \)

Tứ giác \(AMIN\) là hình chữ nhật ( Tứ giác có ba góc vuông)

\(b)\) Tam giác \(AIO\) vuông tại \(A\) có \(AM ⊥ IO.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AIO\), ta có: 

\(IA^2= IM.IO         \;\;\;      (1)\)

Tam giác \(AIO'\) vuông tại \(A\) có \(AN ⊥ IO'.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AIO'\) , ta có:

\(IA^2= IN.IO'          \;\;\;      (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(IM.IO = IN.IO'\)

\(c)\) Ta có: \(IA = ID\) và \(IA = IE \) ( chứng minh trên) nên \(IA=ID=IE=\dfrac{DE}2\)

\(\Rightarrow\) \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(I\) đường kính \(DE.\)

Vì \(OO' ⊥ IA\) tại \(A\) nên \(OO'\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\displaystyle \left( {I;{{DE} \over 2}} \right).\)

\(d)\) Tam giác \(O'IO\) vuông tại \(I\) có \(IA ⊥ OO'.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(O'IO\), ta có:

\( IA^2= OA.O'A = 5.3,2 = 16\)

\(\Rightarrow\) \(IA = 4 (cm).\)

Mà \(IA=\dfrac{DE}2\Rightarrow DE = 2IA\) nên \(DE = 2.4 = 8 (cm).\)