Câu hỏi 9 - Mục Bài tập trang 95

1. Nội dung câu hỏi

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\).

a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.

b) Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\).


2. Phương pháp giải

a) Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

b) + Sử dụng kiến thức về của hàm số để tính:

- Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } g\left( x \right) =  - \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] =  - \infty \)

-  Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) =  + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] =  + \infty \)

+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới của hàm số tại vô cực để tính: Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } g\left( x \right) = M\), khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\)

+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn cơ bản để tính: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\) (với c là hằng số, k là số nguyên dương)

 

3. Lời giải chi tiết 

a) Hàm số f(x) xác định khi \(x - 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3\). Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là \(D = \left( { - \infty ;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\). Suy ra, hàm số f(x) liên tục trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{3}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{3}{x}}} = 2\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{x - 3}} =  + \infty \)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x - 3}}} \right] =  + \infty \)

Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}} =  - \infty \)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x - 3}}} \right] =  - \infty \).

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey

Chatbot GPT

timi-livechat
Đặt câu hỏi