Bài 92 trang 121 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác cân \(ABC\), \(AB = AC = 10cm\), \(BC = 16cm\). Trên đường cao \(AH\) lấy điểm \(I\) sao cho \(AI = \displaystyle {1 \over 3}AH.\) Vẽ tia \(Cx\) song song với \(AH\), \(Cx\) cắt tia \(BI\) tại \(D\).

a) Tính các góc của tam giác \(ABC\).

b) Tính diện tích tứ giác \(ABCD\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông.

b) Áp dụng định lí Py-ta-go và kiến thức về đường trung bình của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC cân tại A có \(AH \bot BC\) nên AH cũng là đường trung tuyến, suy ra: \(HB = HC =\displaystyle {{BC} \over 2} = 8\,(cm)\)

Trong tam giác vuông \(ABH\), ta có: 

\(\cos \widehat B = \displaystyle {{HB} \over {AB}} = {8 \over {10}} = 0,8\)

Suy ra: \(\widehat B \approx 36^\circ 52'\)

Vì \(∆ABC\) cân nên \(\widehat B = \widehat C = 36^\circ 52'\)

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C= 180^\circ  \) (tổng 3 góc trong tam giác ABC)

\(\widehat A = 180^\circ  - (\widehat B + \widehat C) \)\(= 180^\circ  - (36^\circ 52' + 36^\circ 52') = 106^\circ 16'\)

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:

\(\eqalign{
 A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} \cr 
 \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\cr = {10^2} - {8^2} = 36 \cr} \)

Suy ra: \(AH = 6 (cm)\)

Ta có: \(AI = \displaystyle {1 \over 3}.AH = {1 \over 3}.6 = 2\,(cm)\)

Suy ra: \(IH = AH - AI = 6 - 2 = 4 (cm)\)

Vì \(IH \bot BC\) và \(DC \bot BC\) nên \(IH // DC\) (1)

Mặt khác: \(BH = HC\) (cmt)  (2)

Từ (1) và (2) ta có \(IH\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\).

Suy ra: \(IH =\displaystyle {1 \over 2}CD\) hay \(CD = 2.IH\)\( = 2.4 = 8 (cm)\)

Ta có:  

\({S_{ABH}} = \displaystyle {1 \over 2}AH.BH = {1 \over 2}.6.8\)\( = 24\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vì \(AH//DC\) nên AHCD là hình thang và \(AH\bot HC\) nên HC là chiều cao của hình thang AHCD. Từ đó: 

\({S_{AHCD}} = \displaystyle {{AH + CD} \over 2}.HC = {{6 + 8} \over 2}.8\)\( = 56\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy \({S_{ABCD}} = S{  _{ABH}} + {S_{AHCD}} = 24 + 56\)\( = 80\,\) (cm2)