Bài 9.25 trang 60

Đề bài

Xét tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác góc B cắt cạnh AC tại E; đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh:

a)AE < EC

b) BK = BC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)

-Chứng minh: EA = EH (Điểm nằm trên tia phân giác của góc thì cách đều 2 cạnh của góc đó).

-Áp dụng mối liên hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông.

b)

Chứng minh tam giác BCK cân tại B.

Lời giải chi tiết

a)

Đường thẳng EK cắt BC tại H

Ta có: E nằm trên đường phân giác góc B

\( \Rightarrow EA = EH\)(T/c)

Lại có: Tam giác EHC vuông tại H có: EH là cạnh góc vuông, EC là cạnh huyền

\( \Rightarrow EH < EC\) (mlh giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow EA < EC\).

b)

Xét tam giác BCK có:

\(\left\{ \begin{array}{l}KH \bot BC\\CA \bot BK\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \)CH, BK là đường cao trong tam giác BCK

Mà CH cắt BK tại  E

\( \Rightarrow \)E là trực tâm tam giác BCK

\( \Rightarrow \)BE là đường cao

\( \Rightarrow \) BE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao xuất phát từ B của tam giác BCK

\( \Rightarrow \)Tam giác BCK cân tại B.

\( \Rightarrow \)BC = BK.