Bài 95 trang 122 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có góc \(B\) bằng \(120^\circ, \) \(BC = 12cm, AB = 6cm\). Đường phân giác của góc \(B\) cắt cạnh \(AC\) tại \(D\).

a) Tính độ dài đường phân giác \(BD\).

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh \(AM \bot BD.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Vận dụng định lí Ta-lét trong tam giác.

- Chứng minh tam giác \(ABM\) cân tại \(B\).

Lời giải chi tiết

a) Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên: 

\(\widehat {ABD} = \widehat {CBD} = \displaystyle {{\widehat {ABC}} \over 2}\)\( = \displaystyle {{120^\circ } \over 2}\)\( = 60^\circ \)

Từ \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(BD\) cắt \(CB\) tại \(E\).

Lại có:

\(\widehat {BAE} = \widehat {ABD} = 60^\circ \) (so le trong)

 \(\widehat {AEB} = \widehat {CBD} =  60^\circ \) (đồng vị)

Suy ra tam giác \(ABE\) đều (vì có 2 góc bằng \(60^0\))

\( \Rightarrow AB = BE = EA = 6\,(cm)\,\,(1)\)

Khi đó: \(CE = BC + BE = 12 + 6 = 18 (cm)\)

Tam giác \(ACE\) có \(AE // BD\) nên theo hệ quả định lý Ta-lét ta suy ra:

\(\displaystyle {{BC} \over {CE}} = {{BD} \over {AE}} \) 
\(\Rightarrow BD = \displaystyle {{BC.AE} \over {CE}} = {{12.6} \over {18}} = 4\,(cm) \)

b) Vì M là trung điểm cạnh BC nên ta có: 

\(MB = MC = \displaystyle {1 \over 2}.BC = {1 \over 2}.12\)\( = 6\,(cm)\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(BM = AB \Rightarrow \) \(∆ABM\) cân tại \(B\).

Tam giác cân \(ABM\) có \(BD\) là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao (tính chất tam giác cân). Vậy \(BD \bot AM\)