Bài 97 trang 122 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\), \(\widehat C = 30^\circ,\)\(BC = 10cm.\)

a) Tính \(AB, AC.\)

b) Từ \(A\) kẻ \(AM, AN\) lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc \(B\).

Chứng minh: \(MN // BC\) và \(MN = AB.\)

c) Chứng minh hai tam giác \(MAB\) và \(ABC\) đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vận dụng kiến thức :

a) Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

b) Dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình chữ nhật.

c) Các trường hợp đồng dạng của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có:

\(AB = BC.\sin \widehat C = 10.\sin 30^\circ\)\(  = 10.\displaystyle {1 \over 2} = 5\,(cm)\)

\(AC = BC.\cos \widehat C = 10.\cos 30^\circ  \)\(= 10.\displaystyle {{\sqrt 3 } \over 2} = 5\sqrt 3 \,(cm)\)

b) Ta có:

\(BM \bot BN\) (hai tia phân giác của 2 góc kề bù thì vuông góc với nhau) \( \Rightarrow \widehat {MBN} = 90^\circ \,(1)\)

\(AM \bot BM\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {AMB} = 90^\circ \,(2)\)

\(AN \bot BN\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {ANB} = 90^\circ \,(3)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác \(AMBN\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(AM=BN, BM=AN, AB=MN\) (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: \(∆AMB = ∆NBM\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {NMB}\)

Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {MBC}\,(gt)\)

Suy ra: \(\widehat {NMB} = \widehat {MBC}\)

Suy ra \(MN // BC\) (có cặp so le trong bằng nhau)

Vì \(AMBN\) là hình chữ nhật nên \(AB = MN\).

c) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} + \widehat C = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {ABC} = 90^\circ  - \widehat C = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {ABM} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {ABC} = {1 \over 2}.60^\circ  = 30^\circ \)

Xét hai tam giác \(ABC\) và \(MAB\), ta có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)

\(\widehat {ACB} = \widehat {ABM} = 30^\circ \)

Suy ra \(∆ABC\) đồng dạng với \(∆MAB\) (g.g)

Tỉ số đồng dạng: \(k = \displaystyle {{AB} \over {BC}} = {5 \over {10}} = {1 \over 2}\)