Bài 98 trang 122 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(AB = 6cm,\) \(AC = 4,5cm,\)\( BC = 7,5cm.\)

a) Chứng minh tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Tính các góc \(\widehat B,\widehat C\) và đường cao \(AH\) của tam giác.

b) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \({S_{ABC}} = {S_{BMC}}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go đảo và tỉ số lượng giác.

b) Dựa vào diện tích của các hình tam giác \(ABC\) và \(MBC\) để biện luận.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(A{B^2} = {6^2} = 36\)

\(A{C^2} = 4,{5^2} = 20,25\)

\(B{C^2} = 7,{5^2} = 56,25\)

Vì \(A{B^2} + A{C^2} = 36 + 20,25\)\( = 56,25 = B{C^2}\) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ( theo định lí Pi-ta-go đảo).

Kẻ \(AH \bot BC\). Xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: 

\(AH.BC=AB.AC\)\(\Leftrightarrow AH = \displaystyle {{AB.AC} \over {BC}} = {{6.4,5} \over {7,5}} = 3,6\,(cm)\)

Áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác ABC vuông, ta có: \(\cos \widehat C = \displaystyle {{AC} \over {BC}} = {{4,5} \over {7,5}} = 0,6\)

Suy ra: \(\widehat C = 53^\circ 8'\)

Ta có:

\(\widehat B + \widehat C = 90^\circ\) (vì tam giác ABC vuông tại A)

\(\Rightarrow \widehat B = 90^\circ  - \widehat C\)\( = 90^\circ  - 53^\circ 8' = 36^\circ 52'\)

b) Tam giác \(ABC\) và tam giác \(MBC\) có chung cạnh đáy \(BC\), đồng thời \({S_{ABC}} = {S_{MBC}}\)  nên khoảng cách từ \(M\) đến \(BC\) bằng khoảng cách từ \(A\) đến \(BC\). Vậy \(M\) thay đổi cách \(BC\) một khoảng bằng \(AH\) nên \(M\) nằm trên hai đường \(x\) và \(y\) song song với \(BC\) cách \(BC\) một khoảng bằng \(AH\).