Bài tập trắc nghiệm trang 137, 138, 139 SBT hình học 12

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; -3) và B(3; -1; 1) là:

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3;4} \right)\)

Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 2; -3) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3;4} \right)\) nên có phương trình chính tắc là: \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z + 3}}{4}\)

Chọn C.

Tọa độ giao điểm M của đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 12}}{4} = \dfrac{{y - 9}}{3} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và mặt phẳng (α): 3x + 5y - z - 2 = 0 là:

A. (1; 0; 1)              B. (0; 0; -2)

C. (1; 1; 6)              D. (12; 9; 1)

Lời giải chi tiết:

Gọi M(12 + 4t; 9 + 3t; 1 + t) thuộc d và mặt phẳng (α),

Thay tọa độ M vào phương trình (α) ta được phương trình theo t:

3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) - (1 + t) - 2 = 0

\( \Leftrightarrow 36 + 12t + 45 + 15t - 1 - t - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow 26t + 78 = 0 \Leftrightarrow t =  - 3\)

Vậy d cắt (α) tại M(0; 0; -2).

Chọn B.

Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\) và mặt phẳng (α): x + 3y + z + 1 = 0

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. d // (α)              B. d cắt (α)

C. d ⊂ (α)              D. d ⊥ (α)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;2} \right)\)

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;3;1} \right)\)

Ta thấy: \(\overrightarrow u .\overrightarrow n  = 1.1 - 1.3 + 2.1 = 0\) nên \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n \)

Mà điểm cố định M(1; 2; 1) của d không thuộc (α).

Vậy d // (α)

Chọn A.

Cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}\) và mặt phẳng (α): x + y + z - 4 = 0

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. d cắt (α)              B. d // (α)

C. d ⊂ (α)              D. d ⊥ (α)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 3} \right)\)

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;1} \right)\)

Ta thấy: \(\overrightarrow u .\overrightarrow n  = 1.1 + 2.1 - 3.1 = 0\) nên \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n \)

Mà điểm cố định M(1; 1; 2) của d nằm trên (α). Vậy d ⊂ (α)

Chọn C.

Hãy tìm kết luận đúng về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

A. d cắt d'                     B. d ≡ d'

C. d chéo với d'              D. d // d'

Lời giải chi tiết:

Ta thấy:

\(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\) và đi qua \(M\left( {1;2;3} \right)\)

\(d'\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;2; - 2} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{u_2}}  = 2\overrightarrow {{u_1}} \) và thay tọa độ của M vào \(d'\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 2t'\\2 =  - 1 + 2t'\\3 = 3 - 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 0\\t' = \dfrac{3}{2}\\t' = 0\end{array} \right.\left( {vo\,li} \right)\) nên \(M \notin d'\)

Hai đường thẳng d và d' có hai vectơ chỉ phương tỉ lệ và một điểm của đường này không nằm trên đường kia.

Suy ra d // d'.

Chọn D.

Giao điểm giữa hai đường thẳng:

A. (-3; -2; 6)              B. (5; -1; 20)

C. (3; 7; 18)              D. (3; -2; 1)

Lời giải chi tiết:

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - 3 + 2t = 5 + t'\\ - 2 + 3t =  - 1 - 4t'\\6 + 4t = 20 + t'\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - t' = 8\\3t + 4t' = 1\\4t - t' = 14\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t' =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy giao điểm của d và d' là M(3; 7; 18).

Chọn C.

Tìm m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

A. m = 0              B. m = 1

C. m = -1              D. m = 2

Lời giải chi tiết:

\(d\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {m;1;2} \right)\) và đi qua M(1; 0; -1)

\(d'\) có VTCP \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\) và đi qua M'(1; 2; 3)

Ta có: \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {0;2;4} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 2;m - 2;2m + 1} \right)\)

d và d' cắt nhau ⇔ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'}  = 0\)

⇔ 2(m - 2) + 4(2m + 1) = 0

⇔ m = 0

Chọn A.

Khoảng cách từ điểm M(-2; -4; 3) đến mặt phẳng (α): 2x - y + 2z - 3 = 0 là:

A. 3              B. 2

C. 1              D. 11

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(d\left( {M,\left( \alpha  \right)} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 4} \right) + 2.3 - 3} \right|}}{{\left| {{2^2} + {1^2} + {2^2}} \right|}}\) \( = \dfrac{3}{3} = 1\)

Chọn C.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A(2; -1; -1) đến mặt phẳng (α): 16x - 12y - 15z - 4 = 0. Độ dài của đoạn AH là:

A. 55              B. 11/5

C. 11/25              D. 22/5

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(AH = d\left( {A,\left( \alpha  \right)} \right)\)\( = \dfrac{{\left| {16.2 - 12.\left( { - 1} \right) - 15.\left( { - 1} \right) - 4} \right|}}{{\sqrt {{{16}^2} + {{12}^2} + {{15}^2}} }}\) \( = \dfrac{{55}}{{25}} = \dfrac{{11}}{5}\)

Chọn B.

Cho mặt cầu tâm I(4; 2; -2) bán kính r tiếp xúc với mặt phẳng (P): 12x - 5z - 19 = 0. Bán kính r bằng:

A. 39              B. 3

C. 13              D. 39/√(13)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu tâm I bán kính r tiếp xúc với mặt phẳng (P) khi

\(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)\)\( = \dfrac{{\left| {12.4 - 5.\left( { - 2} \right) - 19} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {5^2}} }}\) \( = \dfrac{{39}}{{13}} = 3\)

Chọn B.

Cho hai mặt phẳng song song: (α): x + y - z + 5 = 0 và (β): 2x + 2y - 2z + 3 = 0

Khoảng cách giữa (α) và (β) là:

A. 2/(√3)              B. 2

C. 7/2              D. 7/(2√3)

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm M(0; 0; 5) thuộc (α).

Do \(\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)\) nên \(d\left( {\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)} \right) = d\left( {M,\left( \beta  \right)} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {2.0 + 2.0 - 2.5 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{7}{{2\sqrt 3 }}\)

Chọn D.

Khoảng cách từ điểm M(2; 0; 1) đến đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) là:

A. √(12)              B. √3

C. √2              D. 12/(√6)

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm A(1; 0; 2) trên d và một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u  = \left( {1;2;1} \right)\)

\(\overrightarrow {AM}  = \left( {1;0; - 1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {2; - 2;2} \right)\)

\(d\left( {M,d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) \( = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \)

Chọn C.

Bán kính của mặt cầu tâm I(1; 3; 5) và tiếp xúc với đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 1 - t\\z = 2 - t\end{array} \right.\) là:

A. √(14)              B. 14

C. √7              D. 7

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {0; - 1;2} \right)\) và VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \left( { - 1; - 4; - 3} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {1; - 4;5} \right)\)

\( \Rightarrow R = d\left( {I,d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) \( = \dfrac{{\sqrt {1 + {4^2} + {5^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt {14} \)

Chọn A.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng:

A. √6              B. (√6)/2

C. 1/(√6)              D. √2

Lời giải chi tiết:

d đi qua điểm M(1; -1; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \)  = (2; -1; 0);

d' đi qua điểm M'(2; -2; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} \)  = (-1; 1; 1)

Ta có: \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {1; - 1;2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 1; - 2;1} \right)\)

\(d\left( {d,d'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\) \( = \dfrac{{\left| { - 1.1 - 2.\left( { - 1} \right) + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }}\) \( = \dfrac{3}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\) 

Ta được khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' bằng (√6)/2.

Chọn B.

Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 0; 1) trên đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\)

A. (1; 0; 2)              B. (2; 2; 3)

C. (0; -2; 1)              D. (-1; -4; 0)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).

Gọi H(1 + t; 2t; 2 + t) là một điểm trên Δ \( \Rightarrow \overrightarrow {MH}  = \left( { - 1 + t;2t;1 + t} \right)\)

\(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1;2;1} \right)\)

H là hình chiếu vuông góc của M trên Δ \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1.\left( { - 1 + t} \right) + 2.2t + 1.\left( {1 + t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 1 + t + 4t + 1 + t = 0\\ \Leftrightarrow t = 0\end{array}\)

Suy ra H(1; 0; 2)

Chọn A.

Cho mặt phẳng (α): 3x - 2y - z + 5 = 0 và đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 7}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{4}\)

Gọi (β) là mặt phẳng chứa Δ và song song với (α). Khoảng cách giữa (α) và (β) là:

A. 9/14              B. 9/(√(14))

C. 3/14              D. 3/(√(14))

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm \(M\left( {1;7;3} \right) \in \Delta  \subset \left( \beta  \right)\)

Do \(\left( \beta  \right)//\left( \alpha  \right)\) nên \(d\left( {\left( \beta  \right),\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {M,\left( \alpha  \right)} \right)\)

Ta có: \(d\left( {M,\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3.1 - 2.7 - 3 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} }}\) \( = \dfrac{9}{{\sqrt {14} }}\)

Chọn B.