Trả lời câu hỏi - Mục câu hỏi trắc nghiệm trang 32, 33

1. Nội dung câu hỏi

Trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác \(\frac{{13\pi }}{7}\) có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác nào sau đây?

A. \(\frac{{6\pi }}{7}\).

B. \(\frac{{20\pi }}{7}\).

C. \( - \frac{\pi }{7}\).

D. \(\frac{{19\pi }}{{14}}\).

2. Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về khái niệm góc lượng giác: Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Oa và tia cuối Ob sai nhau khác một bội nguyên của \(2\pi \) nên ta có công thức tổng quát là \(\left( {Oa,Ob} \right) = \alpha  + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là số đo theo radian của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob.

3. Lời giải chi tiết 

Vì \(\frac{{13\pi }}{7} - 2\pi  = \frac{{ - \pi }}{7}\) nên trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác \(\frac{{13\pi }}{7}\) có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác \( - \frac{\pi }{7}\)

Chọn C.

1. Nội dung câu hỏi

Điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác của góc lượng giác có số đo \( - {830^0}\) thuộc góc phần tư thứ mấy?

A. Góc phần tư thứ I.

B. Góc phần tư thứ II.

C. Góc phần tư thứ III.

D. Góc phần tư thứ IV.

2. Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về khái niệm góc lượng giác: Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Oa và tia cuối Ob sai nhau khác một bội nguyên của \({360^0}\) nên ta có công thức tổng quát là \(\left( {Oa,Ob} \right) = \alpha  + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là số đo theo độ của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob. 

3. Lời giải chi tiết 

Ta có: \( - {830^0} = 2.\left( { - {{360}^0}} \right) - {110^0}\) nên góc lượng giác có số đo \( - {830^0}\) thuộc góc phần tư thứ III

Chọn C.

1. Nội dung câu hỏi

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. \(\cos \left( {\pi  - x} \right) =  - \cos x\)

B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) =  - \cos x\)

C. \(\tan \left( {\pi  + x} \right) = \tan x\)

D. \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\)

2. Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt để tìm câu sai: \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\)

3. Lời giải chi tiết 

Vì \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\) nên đáp án B sai

Chọn B.

1. Nội dung câu hỏi

Cho \(\cos \alpha  = \frac{1}{3}\). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không thể xảy ra?

A. \(\sin \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(\cos 2\alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{9}\)

C. \(\cot \alpha  = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

D. \(\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

2. Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về công thức góc nhân đôi để tính: \(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\). 

3. Lời giải chi tiết 

Vì \(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 1 = \frac{{ - 7}}{9}\) nên B sai.

Chọn B.

1. Nội dung câu hỏi

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. \(y = \tan x - 2\cot x\)

B. \(y = \sin \frac{{5\pi  - x}}{2}\)

C. \(y = 3{\sin ^2}x + \cos 2x\)

D. \(y = \cot \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right)\)

2. Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về tính chẵn lẻ của hàm số để xét tính lẻ của hàm số: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi \(x \in D\) ta có: \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\).

3. Lời giải chi tiết 

Xét hàm số: \(y = \tan x - 2\cot x\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\). Ta có \( - x \in D\) với mọi \(x \in D\) và:

\(\tan \left( { - x} \right) - 2\cot \left( { - x} \right) =  - \tan x + 2\cot x =  - \left( {\tan x - 2\cot x} \right)\)

Do đó, hàm số \(y = \tan x - 2\cot x\) là hàm số lẻ.

Chọn A.

1. Nội dung câu hỏi

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)?

A. \(y = \sin x\)

B. \(y =  - \cot x\)

C. \(y = \tan x\)

D. \(y = \cos x\)

2. Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về sự nghịch biến của hàm số \(y = \cos x\) để tìm đáp án đúng: Hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

3. Lời giải chi tiết 

Vì hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right)\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) nên hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Chọn D.

1. Nội dung câu hỏi

Cho \(\sin \alpha  =  - \frac{3}{5}\) và \(\cos \alpha  = \frac{4}{5}\). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. \(\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\)

B. \(\sin 2\alpha  =  - \frac{{12}}{{25}}\)

C. \(\tan \left( {2\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{{31}}{{17}}\)

D. \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{10}}\)

2. Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về công thức cộng để tính: \(\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta \).

3. Lời giải chi tiết 

Ta có: \(\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{ - 3}}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}\)

Chọn A.

1. Nội dung câu hỏi

Cho \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) và \(\cos \beta  = \frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\sin \left( {\alpha  - \beta } \right)\) bằng

A. \(\frac{7}{{12}}\).

B. \(\frac{1}{{12}}\).

C. \(\frac{{\sqrt {15} }}{{12}}\).

D. \(\frac{7}{{144}}\).

2. Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về công thức biến đổi tích thành tổng để tính: \(\sin \alpha \sin \beta  = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)} \right]\)

3. Lời giải chi tiết 

Ta có: \(\cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = 1 - 2.\frac{{15}}{{16}} = \frac{{ - 7}}{8}\);\(\cos 2\beta  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 2.\frac{1}{9} - 1 = \frac{{ - 7}}{9}\)

\(\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2\beta  - \cos 2\alpha } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{7}{8} - \frac{7}{9}} \right) = \frac{7}{{144}}\)

Chọn D.

1. Nội dung câu hỏi

Số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;8\pi } \right]\) là

A. 14.

B. 15.

C. 16.

D. 17.

2. Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải phương trình: Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha  + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = \pi  - \alpha  + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha  = m\).

Đặc biệt: \(\sin u = \sin v \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = \pi  - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

3. Lời giải chi tiết 

\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

TH1: Vì \(x \in \left[ {0;8\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi  \le 8\pi  \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{97}}{{12}}\)

Mà k là số nguyên nên \(k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\)

Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{11\pi }}{{12}};\frac{{23\pi }}{{12}};\frac{{35\pi }}{{12}};\frac{{47\pi }}{{12}};\frac{{59\pi }}{{12}};\frac{{71\pi }}{{12}};\frac{{83\pi }}{{12}};\frac{{95\pi }}{{12}}} \right\}\)

TH2: Vì \(x \in \left[ {0;8\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \frac{\pi }{4} + k\pi  \le 8\pi  \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{4} \le k \le \frac{{31}}{4}\)

Mà k là số nguyên nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7} \right\}\)

Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{4};\frac{{5\pi }}{4};\frac{{9\pi }}{4};\frac{{13\pi }}{4};\frac{{17\pi }}{4};\frac{{21\pi }}{4};\frac{{25\pi }}{4};\frac{{29\pi }}{4}} \right\}\)

Vậy có tất cả 16 nghiệm của phương trình \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;8\pi } \right]\) .

Chọn C.

1. Nội dung câu hỏi

Số nghiệm của phương trình \(\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \tan \frac{{3\pi }}{8}\) trên đoạn \(\left[ { - 6\pi ;\pi } \right]\) là:

A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 10.

2. Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải phương trình: Với mọi số thực m, phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm \(x = \alpha  + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho \(\tan \alpha  = m\).

3. Lời giải chi tiết 

\(\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \tan \frac{{3\pi }}{8} \) \( \Leftrightarrow \tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \tan  - \frac{{3\pi }}{8} \) \( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} =  - \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 \( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 5\pi }}{{24}} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vì \(x \in \left[ { - 6\pi ;\pi } \right] \Rightarrow  - 6\pi  \le \frac{{ - 5\pi }}{{24}} + k\pi  \le \pi  \) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 139}}{{24}} \le k \le \frac{{29}}{{24}}\)

Mà k là số nguyên nên \(k \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\)

Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 125\pi }}{{24}};\frac{{ - 101\pi }}{{24}};\frac{{ - 77\pi }}{{24}};\frac{{ - 53\pi }}{{24}};\frac{{ - 29\pi }}{{24}};\frac{{ - 5\pi }}{{24}};\frac{{19\pi }}{{24}}} \right\}\)

Vậy có tất cả 7 nghiệm của phương trình \(\tan \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \tan \frac{{3\pi }}{8}\) trên đoạn \(\left[ { - 6\pi ;\pi } \right]\).

Chọn B.