Đề kiểm tra 45 phút chương 2 phần Đại số 9 - Đề số 2

Đề bài

Câu 1 (3 điểm). Cho hai hàm số bậc nhất

\(y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3}\) và \(y = \dfrac{1}{2} - 2x\)

Hãy chọn đáp án đúng. 

a) Đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại điểm có tọa độ là:

(A) \(\left( {\dfrac{{20}}{9}\,;\, - \dfrac{{71}}{{18}}} \right)\)                      (B) \(\left( {\dfrac{5}{{16}}\,;\, - \dfrac{1}{8}} \right)\)

(C) \(\left( {\dfrac{5}{{16}}\,;\, - \dfrac{{29}}{{16}}} \right)\)                      (D) \(\left( { - \dfrac{1}{8}\,;\,\dfrac{5}{{16}}} \right)\)

b) Góc tạo bởi đường thẳng \(y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3}\) và trục Ox (làm tròn đến phút) là:

(A) 33o42’                               (B) 56o19’

(C) 33o41’                               (D) 56o18’

c) Góc tạo bởi đường thẳng \(y = \dfrac{1}{2} - 2x\) và trục Ox (làm tròn đến phút) là:

(A) 116o34’                             (B) 63o26’

(C) 26o34’                               (D) 153o26’

Câu 2 (4 điểm)

a) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{3}{4}x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\y =  - 3x + 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

b) Tìm tọa độ giao điểm E của hai đường thẳng có phương trình (1) và (2)

Câu 3 (3 điểm). Cho hai hàm số bậc nhất

\(\begin{array}{l}y = \left( {2k - 1} \right)x + \dfrac{k}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\y = \left( {3k + 1} \right)x + k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

a) Với giá trị nào của k thì hai đường thẳng (1) và (2) cắt nhau ?

b) Với giá trị nào của k thì hai đường thẳng (1) và (2) song song với nhau ?

c) Với giá trị nào của k thì hai đường thẳng (1) và (2) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2 ? Hãy tìm tung độ của giao điểm đó.

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp giải :

a) Muốn tìm hoành độ giao điểm của hai đường thẳng thì ta giải phương trình \(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2} - 2x\) 

Thay hoành độ vừa tìm được vào một trong hai hàm số rồi tính để tìm giá trị của tung độ giao điểm.

b) Muốn tìm góc tạo bởi đường thẳng cho trước và trục Ox :

- Xác định hệ số góc a và so sánh a với 0.

- Vận dụng kiến thức :

+ Khi a > 0, ta có \(\tan \alpha  = a\)

+ Khi a < 0, ta có \(\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \left| a \right|\) (với \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng đã cho và trục Ox).

Lời giải :

a) Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của phương trình :

\(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2} - 2x\)\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}x + 2x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{8}{3}x = \dfrac{5}{6} \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{{16}}\)

Với \(x = \dfrac{5}{{16}}\) thay vào hàm số \(y = \dfrac{1}{2} - 2x = \dfrac{1}{2} - 2 \cdot \dfrac{5}{{16}} =  - \dfrac{1}{8}\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ là \(\left( {\dfrac{5}{{16}}; - \dfrac{1}{8}} \right)\)

Chọn B.

b) Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng đã cho và Ox.

Ta có hệ số góc \(a = \dfrac{2}{3} > 0\) nên \(\tan \alpha  = \dfrac{2}{3}\)  \( \Rightarrow \alpha  \approx {33^o}41'\)

Chọn C.

c) Gọi \(\beta \) là góc giữa đường thẳng đã cho và Ox.

Ta có hệ số góc \(a =  - 2 < 0\) nên \(\tan \left( {{{180}^o} - \beta } \right) = \left| { - 2} \right|\) \( \Rightarrow \beta  \approx {116^o}34'\)

Chọn A.

Câu 2:

Phương pháp giải :

a) Cách vẽ đường thẳng \(y = ax + b\) (trường hợp \(a \ne 0\) và \(b \ne 0\))

- Cho x = 0 thì \(y = b,\) được điểm P(0 ; b) thuộc trục tung Oy.

- Cho y = 0 thì \(x =  - \dfrac{b}{a}\), được điểm \(Q\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\) thuộc trục hoành Ox.

- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q

b) Muốn tìm hoành độ giao điểm của hai đường thẳng thì ta giải phương trình \(\dfrac{3}{4}x + 3 =  - 3x + 5\)

Thay hoành độ vừa tìm được vào một trong hai hàm số rồi tính để tìm giá trị của tung độ giao điểm.

Cách giải :

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{3}{4}x + 3\)

- Với \(x = 0\) thì \(y = 3\)

- Với \(y=0\)  thì \(x =  - 4\)

Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;3} \right)\) và điểm \(B\left( { - 4;0} \right)\)

Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - 3x + 5\)

- Với \(x = 0\) thì \(y = 5\)

- Với \(y = 0\) thì \(x = \dfrac{5}{3}\)

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm \(C\left( {0;5} \right)\) và \(D\left( {\dfrac{5}{3};0} \right)\)

b) Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của phương trình :

\(\dfrac{3}{4}x + 3 =  - 3x + 5\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}x + 3x = 2\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{15}}{4}x = 2\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{8}{{15}}\)

Với \(x = \dfrac{8}{{15}}\) thay vào hàm số \(y =  - 3x + 5\) ta được :

\(y =  - 3 \cdot \dfrac{8}{{15}} + 5 =  - \dfrac{{24}}{{15}} + 5\)\( = \dfrac{{51}}{{15}}\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là \(K\left( {\dfrac{8}{{15}};\dfrac{{51}}{{15}}} \right)\)

Câu 3:

Phương pháp giải :

Vận dụng kiến thức : Hai đường thẳng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)\)

- Cắt nhau khi \(a \ne a'\)

- Song song với nhau khi \(a=a'\) và \(b \ne b'\)

- Trùng nhau khi \(a = a'\) và \(b = b'\)

Cách giải :

Để \(y = \left( {2k - 1} \right)x + \dfrac{k}{2}\) là hàm số bậc nhất thì \(2k - 1 \ne 0 \Leftrightarrow k \ne \dfrac{1}{2}\)

Để \(y = \left( {3k + 1} \right)x + k\) là hàm số bậc nhất thì \(3k + 1 \ne 0\) \( \Leftrightarrow k \ne  - \dfrac{1}{3}\)

a) Hai đường thẳng (1) và (2) cắt nhau khi \(a \ne a'\) hay \(2k - 1 \ne 3k + 1\) \( \Leftrightarrow k \ne  - 2\)

Kết hợp với điều kiện về hàm bậc nhất, đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau khi \(k \ne \dfrac{1}{2};k \ne  - \dfrac{1}{3}\) và \(k \ne  - 2\).

b) Hai đường thẳng (1) và (2) song song với nhau khi

\(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k - 1 = 3k + 1\\\dfrac{k}{2} \ne k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k =  - 2\\k \ne 0\end{array} \right.\)

Vậy đồ thị hai hàm số đã cho song song với nhau khi \(k =  - 2\)

c) Hai đường thẳng (1) và (2) cắt nhau khi \(k \ne \dfrac{1}{2};k \ne  - \dfrac{1}{3}\) và \(k \ne  - 2\) (câu a).

Mà hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2 nên \(x = 2\) là thỏa mãn phương trình giao điểm \(\left( {2k - 1} \right)x + \dfrac{k}{2} = \left( {3k + 1} \right)x + k\)  (*)

Thay \(x = 2\) vào phương trình (*) ta có :

\(\left( {2k - 1} \right).2 + \dfrac{k}{2} = \left( {3k + 1} \right).2 + k\)

\( \Leftrightarrow 4k - 2 + \dfrac{k}{2} = 6k + 2 + k\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}k =  - 4 \Leftrightarrow k =  - \dfrac{8}{5}\)

Thay \(k =  - \dfrac{8}{5}\) , \(x = 2\) vào một trong hai hàm số thì tung độ giao điểm là :

\(y = \left[ {3.\left( { - \dfrac{8}{5}} \right) + 1} \right].2 + \left( { - \dfrac{8}{5}} \right) \)\(=  - \dfrac{{46}}{5}\)

Vậy với \(k =  - \dfrac{8}{5}\) thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng \(2\) và tung độ là \( - \dfrac{{46}}{5}\).