Câu hỏi mục 1 trang 42, 43

Cho elip (E) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\) và cho điểm \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên (E). Các điểm \({M_1}( - {x_0};{y_0}),{M_2}({x_0}; - {y_0}),{M_3}( - {x_0}; - {y_0})\) có thuộc (E) hay không?

Lời giải chi tiết:

Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip thì \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

hay các điểm có tọa độ \({M_1}( - {x_0};{y_0}),{M_2}({x_0}; - {y_0}),{M_3}( - {x_0}; - {y_0})\) cũng thuộc Elip.

Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của elip này.

Phương pháp giải:

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 2a và 2b.

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

+ Độ dài trục lớn: \(2a\), độ dài trục nhỏ: \(2b\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6.

\( \Rightarrow \) Độ dài trục lớn: \(2a = 8 \Leftrightarrow a = 4\), độ dài trục nhỏ: \(2b = 6 \Leftrightarrow b = 3\)

Phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

+ 4 đỉnh là \({A_1}\left( { - 4;0} \right),{A_2}\left( {4;0} \right),{B_1}\left( {0; - 3} \right),{B_2}\left( {0;3} \right).\)

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0),\)

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{4^2} - {3^2}}  = 2\sqrt 7 \)

+ Độ dài trục lớn: \(2a = 8\), độ dài trục nhỏ: \(2b = 6\)

Hãy gấp một mảnh giấy hình elip (Hình 5) thành 4 phần chồng khít lên nhau

Lời giải chi tiết:

Tưởng tượng elip có phương trình chính tắc trên mặt phẳng tọa độ, khi đó ta chỉ cần gập theo các trục tọa độ.