Mục 2 trang 15, 16, 17 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

1.Nội dung câu hỏi

Giả sử Đ_a là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a (Hình 3). Xác định tọa độ của A’ và B’ rồi dùng công thức tính khoảng cách để so sánh A’B’ và AB.

2. Phương pháp giải

Công thức tính khoảng cách AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)

3. Lời giải chi tiết

+ Ta có A’ là ảnh của A qua

Suy ra a là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ hay Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.

Do đó A’ đối xứng với A qua Ox nên chúng có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}).\)

Tương tự như vậy, ta được tọa độ \(B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)

Vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}),{\rm{ }}B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)

+ Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\).

Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).

Ta lại có \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( {{x_B} - {x_A}; - {y_B} + {y_A}} \right)\).

Suy ra:

\(A'B' = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( { - {y_B} + {y_A}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).

Vậy \(A'B'{\rm{ }} = {\rm{ }}AB.\)

1. Nội dung câu hỏi

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:{\rm{ }}x-y + 3 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\; = 9.\)

a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua \({Đ_{Oy}}.\)

b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua \({Đ_{Ox}}.\)

2. Phương pháp giải

Nếu \(M' = {Đ_{Ox}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} =  - {y_M}\end{array} \right.\)

Nếu \(M' = {Đ_{Oy}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} =  - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)

3. Lời giải chi tiết

a) Trục \(Oy:{\rm{ }}x = 0.\)

Thế x = 0 vào phương trình d, ta được \(0{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow y{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)

Suy ra giao điểm của d và Oy là \(P\left( {0;{\rm{ }}3} \right).\)

Chọn điểm \(M\left( {1;{\rm{ }}4} \right) \in d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Ta đặt \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Oy}}\left( M \right).\)

Suy ra Oy là đường trung trực của MM’ hay M’ là điểm đối xứng với M qua Oy.

Do đó hai điểm M và M’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ điểm M’(–1; 4).

Ta có \(\overrightarrow {M'P}  = \left( {1; - 1} \right)\)

Gọi d’ là ảnh của d qua \({Đ_{Oy}}.\)

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {M'P}  = \left( {1; - 1} \right)\).

Suy ra d’ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\)

Vậy đường thẳng d’ đi qua P(0; 3) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\) nên phương trình d’ là: \(1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\; \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

b) Đường tròn (C) có tâm I(–1; –2), bán kính R = 3.

Ta đặt \(I'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( I \right).\)

Suy ra Ox là đường trung trực của II’ hay I’ đối xứng với I qua Ox

Do đó hai điểm I và I’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ điểm I’(–1; 2).

Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua Đ_Ox.

Suy ra (C’) có tâm I’(–1; 2), bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)

Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}9.\)

1. Nội dung câu hỏi

Cho hai điểm A, B là vị trí của hai nhà máy nằm cùng một phía bờ sông là đường thẳng d. Tìm trên bờ sông một địa điểm M để xây dựng một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ trạm bơm về hai nhà máy là ngắn nhất (Hình 7).

2. Phương pháp giải:

Quan sát hình 7, suy luận để tìm chiều dài đường ống dẫn là ngắn nhất.

3. Lời giải chi tiết

Gọi A’ là ảnh của A qua

Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.

Mà \(M \in d\)  (giả thiết), do đó \(\;MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'.\)

Vì AB cố định nên A’B cũng cố định.

Ta có \(MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} \ge {\rm{ }}A'B\) (theo bất đẳng thức tam giác).

Suy ra MA + MB ngắn nhất khi và chỉ khi

Tức là, ba điểm A’, M, B thẳng hàng hay M là giao điểm của A’B và d.

Vậy địa điểm M cần tìm là giao điểm của bờ sông (đường thẳng d) với đường thẳng A’B, trong đó A’ là ảnh của A qua