Trả lời câu hỏi mục 3 trang 112, 113, 114

1. Nội dung câu hỏi

Hãy nêu lại công thức tính thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác, khối lăng trụ đứng tứ giác. 

2. Phương pháp giải

Nhớ lại công thức để nêu ra.

3. Lời giải chi tiết

Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác, khối lăng trụ đứng tứ giác bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

V = B.h với B là diện tích đáy, h là chiều cao khối lăng trụ.

1. Nội dung câu hỏi

Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)' biết tất cả các cạnh bằng \(a\) và hình chiếu của \(A'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm của \(AB\).

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ: \(V = Sh\).

3. Lời giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\)

\(AH = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

\(\Delta AA'H\) vuông tại \(H\)\( \Rightarrow A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.A'H = \frac{{3{a^3}}}{8}\end{array}\)

1. Nội dung câu hỏi

Cho khối tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}Sh\).

3. Lời giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác \(ABC\) đều

\( \Rightarrow AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\end{array}\)

1. Nội dung câu hỏi

Một thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với hai cạnh đáy lần lượt dài 2 dm và 3 dm, chiều cao bằng 4 dm. Tính thể tích của thùng đựng rác.

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều: \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'}  + S'} \right)\).

3. Lời giải chi tiết

Diện tích đáy lớn là: \(S = A{B^2} = {3^2} = 9\)

Diện tích đáy bé là: \(S' = {2^2} = 4\)

Thể tích hình chóp cụt là:

\(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'}  + S'} \right) = \frac{1}{3}.4\left( {9 + \sqrt {9.4}  + 4} \right) = \frac{{76}}{3} \approx 25,3\left( {d{m^3}} \right)\)