Giải mục 3 trang 35, 36 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều

Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức \({(a + b)^4}\) (Hình 7a) và nhị thức \({(a + b)^5}\) (Hình 7b) sau:

a) So sánh từng cặp hệ số \(C_4^0\) và \(C_4^4\), \(C_4^1\) và \(C_4^3\) ở Hình 7a.

So sánh từng cặp hệ số \(C_5^0\) và \(C_5^5\), \(C_5^1\) và \(C_5^4\),\(C_5^2\) và \(C_5^3\) ở Hình 7b.

b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(C_4^0 = 1 = C_4^4;C_4^1 = 4 = C_4^3\)

\(C_5^0 = 1 = C_5^5;C_5^1 = 5 = C_5^4;C_5^2 = 10 = C_5^3\)

b) Dãy \(C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4\) tăng từ \(C_4^0\) đến \(C_4^2\) rồi giảm từ \(C_4^2\) đến \(C_4^4\)

Dãy \(C_5^0;C_5^1;C_5^2;C_5^3;C_5^4;C_5^5\) tăng từ \(C_5^0\) đến \(C_5^2\) , \(C_5^2 = C_5^3\), rồi giảm từ \(C_5^3\) đến \(C_5^5\)

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của

a) \({(a + b)^{2022}}\)

b) \({(a + b)^{2023}}\)

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Hệ số thứ k của biểu thức là \(C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}\)

Hệ số lớn nhất trong khai triển là hệ số lớn hơn hệ số đứng sau và đứng trước nó

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(C_{2022}^0 < C_{2022}^1 < C_{2022}^2 < ... < C_{2022}^{1011}\) và \(C_{2022}^{1011} > C_{2022}^{1012} > C_{2022}^{1012} > ... > C_{2022}^{2022}\)

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển \({(a + b)^{2022}}\) là \(C_{2022}^{1011}\)

a) Ta có \(C_{2023}^0 < C_{2023}^1 < C_{2023}^2 < ... < C_{2023}^{1011} = C_{2023}^{1012}\) và \(C_{2023}^{1012} > C_{2023}^{1013} > C_{2023}^{1014} > ... > C_{2023}^{2023}\)

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển \({(a + b)^{2023}}\) là \(C_{2023}^{1011} = C_{2023}^{1012}\)

Xét khai triển của \({(x + 5)^{15}}\)

a) Nêu số hạng chứa \({x^7}\) từ đó nêu hệ số của \({x^7}\)

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 15\)

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: \({(ax + b)^n} = C_n^0{(ax)^n} + C_n^1{(ax)^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}(ax){b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Hệ số của \({x^k}\) trong khai triển trên là \(C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({(x + 5)^{15}} = {C_1}^0{x^{15}} + {C_1}^1{x^{14}}5 + ... + {C_1}^{14}x{.5^{14}} + {C_1}^{15}{5^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{x^{15 - k}}{5^k}} \)

a) Số hạng chứa \({x^7}\), tức là \(15 - k = 7\) hay \(k = 8\) là \(C_{15}^8.{x^7}{.5^8}\). Hệ số của \({x^7}\) là \(C_{15}^8{.5^8}\)

b) Số hạng chứa \({x^{15}}\) là \(C_{15}^0{x^{15}} = {x^{15}}\). Hệ số của \({x^{15}}\) là \(1\).

Số hạng tự do là: \(C_{15}^{15}{5^{15}} = {5^{15}}\)

Số hạng chứa \({x^k}(1 \le k \le 14)\) là \(C_{15}^{15 - k}{x^k}{5^{15 - k}} = C_{15}^{15 - k}{5^{15 - k}}{x^k}\). Hệ số của \({x^k}\) là \(C_{15}^{15 - k}{5^{15 - k}}\)