Chuyên đề 2: Phương pháp quy nạp toán học. Nhị thức Newton

Giải mục 3 trang 35, 36 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
HĐ 3
Luyện tập 1
Luyện tập 2
Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
HĐ 3
Luyện tập 1
Luyện tập 2

HĐ 3

Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức \({(a + b)^4}\) (Hình 7a) và nhị thức \({(a + b)^5}\) (Hình 7b) sau:

a) So sánh từng cặp hệ số \(C_4^0\) và \(C_4^4\), \(C_4^1\) và \(C_4^3\) ở Hình 7a.

So sánh từng cặp hệ số \(C_5^0\) và \(C_5^5\), \(C_5^1\) và \(C_5^4\),\(C_5^2\) và \(C_5^3\) ở Hình 7b.

b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số

 

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(C_4^0 = 1 = C_4^4;C_4^1 = 4 = C_4^3\)

\(C_5^0 = 1 = C_5^5;C_5^1 = 5 = C_5^4;C_5^2 = 10 = C_5^3\)

b) Dãy \(C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4\) tăng từ \(C_4^0\) đến \(C_4^2\) rồi giảm từ \(C_4^2\) đến \(C_4^4\)

Dãy \(C_5^0;C_5^1;C_5^2;C_5^3;C_5^4;C_5^5\) tăng từ \(C_5^0\) đến \(C_5^2\) , \(C_5^2 = C_5^3\), rồi giảm từ \(C_5^3\) đến \(C_5^5\)

Luyện tập 1

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của

a) \({(a + b)^{2022}}\)

b) \({(a + b)^{2023}}\)

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Hệ số thứ k của biểu thức là \(C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}\)

Hệ số lớn nhất trong khai triển là hệ số lớn hơn hệ số đứng sau và đứng trước nó

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(C_{2022}^0 < C_{2022}^1 < C_{2022}^2 < ... < C_{2022}^{1011}\) và \(C_{2022}^{1011} > C_{2022}^{1012} > C_{2022}^{1012} > ... > C_{2022}^{2022}\)

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển \({(a + b)^{2022}}\) là \(C_{2022}^{1011}\)

a) Ta có \(C_{2023}^0 < C_{2023}^1 < C_{2023}^2 < ... < C_{2023}^{1011} = C_{2023}^{1012}\) và \(C_{2023}^{1012} > C_{2023}^{1013} > C_{2023}^{1014} > ... > C_{2023}^{2023}\)

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển \({(a + b)^{2023}}\) là \(C_{2023}^{1011} = C_{2023}^{1012}\)

Luyện tập 2

Xét khai triển của \({(x + 5)^{15}}\)

a) Nêu số hạng chứa \({x^7}\) từ đó nêu hệ số của \({x^7}\)

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 15\)

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: \({(ax + b)^n} = C_n^0{(ax)^n} + C_n^1{(ax)^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}(ax){b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Hệ số của \({x^k}\) trong khai triển trên là \(C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({(x + 5)^{15}} = {C_1}^0{x^{15}} + {C_1}^1{x^{14}}5 + ... + {C_1}^{14}x{.5^{14}} + {C_1}^{15}{5^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{x^{15 - k}}{5^k}} \)

a) Số hạng chứa \({x^7}\), tức là \(15 - k = 7\) hay \(k = 8\) là \(C_{15}^8.{x^7}{.5^8}\). Hệ số của \({x^7}\) là \(C_{15}^8{.5^8}\)

b) Số hạng chứa \({x^{15}}\) là \(C_{15}^0{x^{15}} = {x^{15}}\). Hệ số của \({x^{15}}\) là \(1\).

Số hạng tự do là: \(C_{15}^{15}{5^{15}} = {5^{15}}\)

Số hạng chứa \({x^k}(1 \le k \le 14)\) là \(C_{15}^{15 - k}{x^k}{5^{15 - k}} = C_{15}^{15 - k}{5^{15 - k}}{x^k}\). Hệ số của \({x^k}\) là \(C_{15}^{15 - k}{5^{15 - k}}\)

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey
Đặt câu hỏi