Câu hỏi mục 3 trang 37, 38

Xác định hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(3x + 2)^9}\)

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n - k}{(ax)^k}{b^{n - k}}\)

Do đó hệ số của \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}\)

Lời giải chi tiết:

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\({(3x + 2)^9} = C_9^0{\left( {3x} \right)^9} + C_9^1{\left( {3x} \right)^8}2 + ... + C_9^k{\left( {3x} \right)^{9 - k}}{2^k} + ... + C_9^8\left( {3x} \right){2^8} + C_9^9{2^9}\)

Số hạng chứa \({x^2}\) ứng với \(9 - k = 2\) hay \(k = 7\). Do đó hệ số của \({x^2}\)  là

\(C_9^7{3^2}{2^7} = 36.9.128 = 41472\)

Biết rằng trong khai triển của \({(x + a)^6}\) với a là một số thực, hệ số của \({x^4}\) là 60. Tìm giá trị của a.

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n - k}{(ax)^k}{b^{n - k}}\)

Do đó hệ số của \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

\({(x + a)^6} = C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}a + ... + C_6^k{x^{6 - k}}{a^k} + ... + C_6^6{a^6}\)

Số hạng chứa \({x^4}\) ứng với \(6 - k = 4\) hay \(k = 2\). Hệ số của số hạng chứa \({x^4}\)  là \(C_6^2{a^2}\)

Theo giả thiết ta có: \(C_6^2{a^2} = 60\)

\( \Leftrightarrow 15{a^2} = 60 \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy \(a = 2\) hoặc \(a =  - 2\).

Chứng minh rằng, với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có

\(C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n = 0\)

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

\({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}\)

Thay \(x =  - 1\) ta được:

\(0 = C_n^0 + ( - 1)C_n^1 + {( - 1)^2}C_n^2 + {( - 1)^3}C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n\)

Hay \(C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n = 0\)

Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. Có tất cả bao nhiêu cách lấy, tính cả trường hợp lấy 0 quả (tức là không lấy quả nào)?

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử lấy k quả cầu từ hộp A cho sáng hộp B. \((0 \le k \le 10)\)

Để lấy k quả cầu, có \(C_{10}^k\) cách lấy. (trường hợp không lấy quả nào được tính là 1 cách, bằng \(C_{10}^0\))

Vậy số cách lấy một số quả cầu (kể cả cách lấy 0 quả) từ hộp A cho sang hộp B là:

\(C_{10}^0 + C_{10}^1 + C_{10}^2 + ... + C_{10}^{10} = {2^{10}} = 1024.\)