Câu hỏi mục 3 trang 53

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
HĐ3
Thực hành 3
Vận dụng 3
Vận dụng 4
Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
HĐ3
Thực hành 3
Vận dụng 3
Vận dụng 4

HĐ3

Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Chứng tỏ rằng \(\frac{c}{a} > 1.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:\(a > 0,b > 0\) và \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  > \sqrt {{a^2}}  = a \Rightarrow \frac{c}{a} > 1.\)

Thực hành 3

Tìm tâm sai của các hypebol sau:

a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)

Phương pháp giải:

Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Bước 1: Xác định a, b suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Bước 2: Tính tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)

Lời giải chi tiết:

a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Ta có: \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt 5 \)

Vậy tâm sai của \(({H_1})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

Ta có: \(a = 3,b = 5\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {34} \)

Vậy tâm sai của \(({H_2})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {34} }}{3}\)

c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\)

Ta có: \(a = b = \sqrt 3 \), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt 6 \)

Vậy tâm sai của \(({H_1})\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 2 \)

 

Vận dụng 3

Cho hypebol (H) có tâm sai bằng \(\sqrt 2 \). Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau

Phương pháp giải:

Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)

+ Độ dài trục thực và trục ảo: \(2a\) và \(2b\)

Lời giải chi tiết:

Ta có hypebol (H) có tâm sai là \(e = \sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2{a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} = {b^2}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow a = b\) (do \(a > 0,b > 0\))

\( \Rightarrow 2a = 2b\) hay trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

 

Vận dụng 4

Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt trời là \({2.10^8}\) km.

a) Lập phương trình chính tắc của (H)

b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí \(M(x;y)\) của vật thể trong mặt phẳng tọa độ.

Phương pháp giải:

Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \(M(x;y)\) thuộc (H).

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)

+ Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:

\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right|\)

+  Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c - a.\)

Lời giải chi tiết:

a) Gọi phương trình chính tắc của (H) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = 1,2\)

+  Khoảng cách gần nhất từ \(M(x;y)\) trên (H) đến một tiêu điểm là: \(c - a = {2.10^8}\)

\( \Rightarrow a = {10^9},c = {12.10^8} \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {44.10^{16}}\)

\( \Rightarrow \) PTCT của (H) là \(\frac{{{x^2}}}{{{{10}^{18}}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{44.10}^{16}}}} = 1\)

b) Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) trên (H) là:

\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} + 1,2x} \right|;M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {{{10}^9} - 1,2x} \right|\)

 

 

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey
Đặt câu hỏi