Hoạt động 5
1. Nội dung câu hỏi
a) Với \(h \ne 0,\) biến đổi hiệu \(\sin \left( {x + h} \right) - \sin x\) thành tích.
b) Sử dụng công thức giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin h}}{h} = 1\) và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.
2. Phương pháp giải
- Công thức lượng giác \(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\)
- \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
3. Lời giải chi tiết
a) \(\sin \left( {x + h} \right) - \sin x = 2\cos \frac{{2x + h}}{2}.\sin \frac{h}{2}\)
b) Với \({x_0}\) bất kì, ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin x - \sin {x_0}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\cos \frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{\frac{{x - {x_0}}}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos \frac{{x + {x_0}}}{2} = \cos {x_0}\end{array}\)
Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số \(y' = \cos x\).
Luyện tập 3
1. Nội dung câu hỏi
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right).\)
2. Phương pháp giải
Sử dụng công thức \(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\)
3. Lời giải chi tiết
\(y' = {\left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)^,}\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right) = - 3\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 3x} \right)\).
Hoạt động 6
1. Nội dung câu hỏi
Bằng cách viết \(y = \cos x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \cos x.\)
2. Phương pháp giải
Sử dụng công thức \(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\)
3. Lời giải chi tiết
\(y' = \left( {\cos x} \right)' = {\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)^,}\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \sin x\).
Luyện tập 4
1. Nội dung câu hỏi
Tính đạo hàm của hàm số \(y = 2\cos \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right).\)
2. Phương pháp giải
Sử dụng công thức \(\left( {\cos u} \right)' = - u'.\sin u\)
3. Lời giải chi tiết
\(y' = - 2{\left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)^,}\sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{4} - 2x} \right)\).
Hoạt động 7
1. Nội dung câu hỏi
a) Bằng cách viết \(y = \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\,\,\,\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \tan x.\)
b) Sử dụng đẳng thức \(\cot x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) với \(x \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \cot x.\)
2. Phương pháp giải
- Sử dụng công thức \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)
- Sử dụng quy tắc \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^,} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)
3. Lời giải chi tiết
a) \(y' = \left( {\tan x} \right)' = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^,} = \frac{{\left( {\sin x} \right)'.\cos x - \sin x.\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
b) \(\left( {\cot x} \right)' = {\left[ {\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \right]^,} = \frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}} = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) (dựa vào ý a).
Luyện tập 5
1. Nội dung câu hỏi
Tính đạo hàm của hàm số \(y = 2{\tan ^2}x + 3\cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right).\)
2. Phương pháp giải
Sử dụng công thức \(\begin{array}{l}\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}};\\\left( {\cot u} \right)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\end{array}\)
3. Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}y' = 2\left( {{{\tan }^2}x} \right)' + 3\left[ {\cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)} \right]' = 2.2\tan x.\left( {\tan x} \right)' + 3.\frac{{ - \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)'}}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)}}\\ = 4\tan x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{6}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)}}\end{array}\).
Vận dụng 1
1. Nội dung câu hỏi
Một vật chuyển động có phương trình \(s\left( t \right) = 4\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)\left( m \right),\) với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
2. Phương pháp giải
- Ý nghĩa vật lí: \(v = s'\)
- Công thức \(\left( {\cos u} \right)' = - u'.\sin u\)
3. Lời giải chi tiết
Ta có
\(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 4\left[ {\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)} \right]' = - 4\left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)'.\sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right) = - 8\pi \sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{8}} \right)\)
Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là
\(v\left( 5 \right) = - 8\pi \sin \left( {10\pi - \frac{\pi }{8}} \right) \approx 9,6\)(m/s).
Tác giả - Tác phẩm Ngữ văn 11 tập 2
CHƯƠNG VII: MẮT VÀ CÁC DỤNG CỤ QUANG
Câu hỏi tự luyện Sử 11
Chương 6. Hidrocacbon không no
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 2 môn Toán lớp 11
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11