Câu hỏi mục I trang 83, 84, 85

Một vât dịch chuyển từ A đến B và tiếp tục dịch chuyển từ B đến C (Hình 49).

a) Biểu diễn vecto dịch chuyển của vật từ A đến B và từ B đến C.

b) Xác định vecto dịch chuyển tổng hợp của vật

Lời giải chi tiết:

a) vecto dịch chuyển của vật từ A đến B là \(\overrightarrow {AB} \)và từ B đến C là \(\overrightarrow {BC} \)

b) Tóm lại vật đó dịch chuyển từ A đến C, vecto dịch chuyển tổng hợp của vật là \(\overrightarrow {AC} \)

Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Lấy một điểm A tùy ý.

a) Vẽ \(\overrightarrow {AB}  = a\), \(\overrightarrow {BC}  = b\)

b) Tổng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)bằng vecto nào?

Phương pháp giải:

a) Nêu cách xác định điểm B, điểm C.

b) Xác định tổng của hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \)

Lời giải chi tiết:

a) Gọi M, N lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto \(\overrightarrow a \).

Vì \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB} \) nên tứ giác MNBA là hình bình hành.

Nói cách khác B là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow a \) và điểm A.

Tương tự, C là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow b \) và điểm B.

b) Dễ thấy: tổng của hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là vecto \(\overrightarrow {AC} \).

Do đó tổng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)bằng vecto \(\overrightarrow {AC} \).

Ta có viết: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN} \)

Phương pháp giải:

Bước 1: Chứng minh \(\overrightarrow {PB}  = \overrightarrow {NM} ;\;\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {NC} \)

Bước 2: Tính tổng \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AN} \)

Lời giải chi tiết:

Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

\( \Rightarrow MN = \frac{{AB}}{2} = PB\) và MN // PB.

\( \Rightarrow \overrightarrow {PB}  = \overrightarrow {NM} \)

Ta có: \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC} \)

Lại có: \(\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AN} \) (do N là trung điểm của AC)

Vậy \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN} \)

Cho ABCD là hình bình hành (Hình 52). So sánh:

a) Hai vecto \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).

b) Vecto tổng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) và vecto \(\overrightarrow {AC} \)

Phương pháp giải:

a) Nhận xét về giá, hướng và độ dài của hai vecto đó.

b) Thay vecto \(\overrightarrow {AD} \) bởi vecto \(\overrightarrow {BC} \)trong tổng rồi tính.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD = BC\end{array} \right.\) (do tứ giác ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

Hãy giải thích hướng đi của thuyền ở Hình 48.

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi tên các lực tác động lên thuyền.

Bước 2: Vận dụng quy tắc hình bình hành tính tổng hai lực.

Lời giải chi tiết:

Gọi vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) là các vecto biểu diễn lực mà hai người cùng tác động lên điểm A của thuyền.

Khi đó thuyền chịu một lực là tổng hai lực kéo đó.

Vậy thuyền đi theo hướng của vecto tổng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

Vẽ hình bình hành ABCD. Khi đo ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Vậy khi hai người cùng kéo, thuyền đi theo vecto đường chéo của hình bình hành tạo bởi hai lực kéo của hai người.

Cho hình bình hành ABCD và điểm E bất kì. Chứng minh: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AE} \).

Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng tính chất giao hoán, ta tính: \((\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) + \overrightarrow {CE} \)

Bước 2: Vận dụng quy tắc hình bình hành, chỉ ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)từ đó suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) + \overrightarrow {CE} \) (tính chất giao hoán)

Mà theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AE} \)

Vậy \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AE} \) với điểm E bất kì.