Câu hỏi mục III trang 89, 90

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AG} .\)

Phương pháp giải:

G là trọng tâm tam giác ABC thì \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \) với điểm M bất kì.

Lời giải chi tiết:

Với điểm M bất kì ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \)

Chọn M trùng A, ta được: \(\overrightarrow {AA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AG}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AG} .\)

Cho ba điểm phân biệt A, B, C.

a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương hay không?

b) Ngược lại, nếu hai vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương thì ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?

Phương pháp giải:

Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Nếu A, B, C thẳng hàng thì đường thẳng AB trùng đường thẳng AC, do đó hai vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương.

b) Nếu hai vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương thì đường thẳng AB trùng đường thẳng AC, do đó ba điểm A, B, C có thẳng hàng.

Ở hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow {AC}  = k.\overrightarrow {AD} \)

b) \(\overrightarrow {BD}  = k.\overrightarrow {DC} \)

Phương pháp giải:

Từ hình vẽ suy ra hướng và tỉ số độ dài của hai vecto.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \)là hai vecto cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \frac{3}{4}\left| {\overrightarrow {AD} } \right|\)

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} .\) Vậy \(k = \frac{3}{4}.\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {DC} \)là hai vecto ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {DC} } \right|\)

Suy ra \(\overrightarrow {BD}  =  - 3\overrightarrow {DC} .\) Vậy \(k =  - 3.\)