Lí thuyết tích phân

1. Khái niệm và tính chất

a. Định nghĩa

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Giả sử \(F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([a;b]\), hiệu số \(F(b) - F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a;b]\) của hàm số \(f(x)\).

Kí hiệu là : \(\int_a^b f (x)dx\)

Vậy ta có :\(\int_a^b f (x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|_a^b\)

Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa: \(\int_a^a f (x)dx = 0\)

Trường hợp a>b, ta định nghĩa: \(\int_a^b f (x)dx =  - \int_b^a f (x)dx\)

Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :

\(\int_a^b f (x)dx = \int_a^b f (t)dt = \int_a^b f (u)du = ...\) (vì đều bằng \(F(b) - F(a)\))

b. Tính chất của tích phân

\(\int_a^b k f(x)dx = k\int_a^b f (x)dx\)  ( với \(k\) là hằng số)

\(\int_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]} d{\rm{x}} = \int_a^b {f\left( x \right)} d{\rm{x}} \pm \int_a^b {g\left( x \right)} d{\rm{x}}\)

\(\int_a^b f (x)dx = \int_a^c f (x))dx + \int_c^b f (x)dx\) (với \(a<b<c\))

2. Phương pháp tinh tích phân

a. Phương pháp đổi biến số

Định lí. Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([a;b]\). Giả sử hàm số \(x = \varphi \left( t \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([α;β]\) sao cho \(\varphi \left( \alpha  \right) = a,\varphi \left( \beta  \right) = b\) và \(a \le \varphi \left( t \right) \le b,\forall t \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]\). Khi đó:

\(\int_a^b f (x)dx = \int_\alpha ^\beta  f (\varphi \left( t \right)) \varphi '(t)dt\)

Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì: 

\(\int_a^b f (x)dx = \int_{u(a)}^{u(b)} g (u)du\)

b. Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :

\(\int_a^b u (x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]|_a^b - \int_a^b {u'} (x)v(x)dx\)

hay \(\int_a^b u dv = uv|_a^b - \int_a^b v du\)

3. Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung).

Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì : \(\int_a^b f (x)dx \ge 0\)

Từ đó ta có:

Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a;b] thì

\(\int_a^b g (x)dx \le \int_a^b f (x)dx\)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi g(x) ≡ f(x).

Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a;b] thì

\(m(b - a) \le \int_a^b f (x)dx \le M(b - a)\)