Lý thuyết bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

1. Bất phương trình mũ cơ bản

\(a^x> b\) (hoặc \({a^x} < b;\;{a^x} \le b;\;{\kern 1pt} {a^x} \ge b)\), trong đó \(a,b\) là hai số đã cho, \(a> 0, a\ne 1.\)

Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Lôgarit hóa bất phương trình (mà cả hai vế đều dương) theo cơ số lớn hơn 1( nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương (trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiêm):

- Nếu \(b > 0\) và \(a > 1\) thì

\(\begin{array}{l}
{a^x} > b \Leftrightarrow {\log _a}{a^x} > {\log _a}b \Leftrightarrow x > {\log _a}b;\\
{a^x} \ge b \Leftrightarrow x \ge {\log _a}b\\
{a^x} < b \Leftrightarrow x < {\log _a}b;\\
{a^x} \le b \Leftrightarrow x \le {\log _a}b
\end{array}\)

- Nếu \(b>0\)  và \(0 < a <1\) 

\(\begin{array}{l}
{a^x} > b \Leftrightarrow {\log _a}{a^x} < {\log _a}b \Leftrightarrow x < {\log _a}b;\\
{a^x} \ge b \Leftrightarrow x \le {\log _a}b\\
{a^x} < b \Leftrightarrow x > {\log _a}b;\\
{a^x} \le b \Leftrightarrow x \ge {\log _a}b
\end{array}\)

- Nếu \(b ≤ 0\) thì các bất phương trình \({a^x} > b,\;\;{a^x} \ge  b\)  đều đúng với mọi \(x\) (tập nghiện là \(\mathbb R)\)

- Nếu \(b ≤ 0\) thì các bất phương trình \({a^x} < b,\;\;{a^x} \le b\) đều vô nghiệm

2. Bất phương trình lôgarit cơ bản dạng \({\log _a}x > b\)  (hoặc \({\log _a}x < b;\;{\log _a}x \ge b;\;{\log _a}x \le b\))

trong đó \(a,b\)  là hai số đã cho,\( a>0, a \ne 1\)

Ta giải bất phương trình loogarit cơ bản bằng cách mũ hóa sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Mũ hóa bất phương trình theo cơ số lớn hơn 1 (nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương.

- Nếu \(a > 1\) thì

\(\log_{a}x > b ⇔ a^{\log_{a}x} > a^b⇔ x > a^b;\)

\(\log_{a}x ≥  b ⇔ x ≥ a^b\)

\(\log_{a}x <  b ⇔ 0 < x < a^b\)

\(\log_{a}x ≤  b ⇔ 0 < x ≤ a^b\)

- Nếu \(0 < a < 1\) thì 

\(\log_{a}x > b ⇔ a^{\log_{a}x} < a^b ⇔ 0 < x < a^b;\)

\(\log_{a}x ≥  b ⇔ 0 < x ≤ a^b\)

\(\log_{a}x < b ⇔ x >  a^b\)

\( \log_{a}x ≤  b ⇔ x ≥  a^b\)

3. Chú ý: Các bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản nêu trên trong trường hợp \(b =a^α\) ( đối với bất phương trình mũ cơ bản) và \(b =\log_{a}α\) ( trường hợp bất phương trình lôgarit  cơ bản) thì có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải, không cần lôgarit hóa hay mũ hóa. Chẳng hạn:  

Nếu \(a > 1\) thì \({a^x} > {a^\alpha} \Leftrightarrow x > \alpha;\)

Nếu \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}x > {\log _a}\alpha  \Leftrightarrow 0 < x < \alpha ;...\)