Lý thuyết Chia hết và chia có dư. Tính chất chia hết của một tổng

1. Chia hết và chia có dư

Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0. Ta luôn tìm được đúng hai số tự nhiên q và r sao cho

a = b. q + r, trong đó \(0 \le r < b\). Ta gọi q và r lần lượt là thương và số dư trong phép chia a cho b.

- Nếu r = 0 tức a = b . q, ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a\( \vdots \)b và ta có phép chia hết a : b = q.

- Nếu \(r \ne 0\), ta nói a không hết cho b, kí hiệu a \(\not{ \vdots }\) b và ta có phép chia có dư.

2. Tính chất chia hết của một tổng

Tính chất 1

Cho a, b, n là các số tự nhiên, n khác 0.

Nếu a\( \vdots \)n và b\( \vdots \)n thì (a + b)\( \vdots \)n và (a - b)\( \vdots \)n \(\left( {a \ge b} \right)\)

Nếu a\( \vdots \)n, b\( \vdots \)n và c\( \vdots \)n thì (a + b + c)\( \vdots \)n

Trong một tổng, nếu một số hạng đều chia hết cho cùng một số thì tổng cũng chia hết cho số đó.

Tính chất 2

Cho a, b, n là các số tự nhiên, n khác 0. \(\left( {a \ge b} \right)\)

Nếu a \(\not{ \vdots }\) n và b\( \vdots \)n thì (a + b) \(\not{ \vdots }\) n và (a - b) \(\not{ \vdots }\) n

Nếu a\( \vdots \)n và b \(\not{ \vdots }\) n thì (a - b) \(\not{ \vdots }\) n

Nếu a \(\not{ \vdots }\) n, b\( \vdots \)n và c\( \vdots \)n thì (a + b + c) \(\not{ \vdots }\) n

Nếu trong một tổng chỉ có đúng một số hạng không chia hết cho một số, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.

CÁC DẠNG TOÁN VỀ TÍNH CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG

1. Xét tính chia hết của một tổng hoặc một hiệu

Phương pháp:

Áp dụng tính chất 1 và tính chất 2 về sự chia hết của một tổng, một hiệu.

Ví dụ:

a)

Ta có \(6 \vdots 3;\,9 \vdots 3;\,15 \vdots 3\, \Rightarrow 6 + 9 + 15 = 30 \vdots 3\)

b)

Ta có: \(75 \vdots 15\) và \(12\not  \vdots 15\) nên \(75 + 12\not  \vdots 15\) và \(75 - 12\not  \vdots 15\)

c) 

\(10 \vdots 5;\,15 \vdots 5;\,12\not  \vdots 5 \Rightarrow 10 + 15 + 12 = 37\not  \vdots 5\).

2. Tìm điều kiện của một số hạng để tổng hoặc hiệu chia hết cho một số nào đó

Phương pháp:

Áp dụng tính chất 1 và tính chất 2 để tìm điều kiện của số hạng chưa biết.

Ví dụ:

Cho tổng \(M = 105 + 72 + x\) . Để $M$ chia hết cho $3$ thì $x$ phải như thế nào?

Giải:

Vì \(105\, \vdots \,3;\,72\, \vdots \,3\) nên để \(M = 105 +72 + x\) chia hết cho \(3\) thì \(x\, \vdots \,3\).

3. Xét tính chia hết của một tích

Phương pháp:

 Áp dụng tính chất: Nếu trong một tích các số tự nhiên có một thừa số chia hết cho một số nào đó thì tích cũng chia hết cho số đó.

Ví dụ:

Nếu $n$ chia hết cho $13$ thì $2n$ cũng chia hết cho $13$.