Lý thuyết Phép nhân và phép chia hết hai số nguyên

I. Nhân hai số nguyên

1.Nhân hai số nguyên khác dấu

Nhận xét: Tích của hai số nguyên khác dấu là số nguyên âm.

Chú ý:

Cho hai số nguyên dương \(a\) và \(b\), ta có:

\(\left( { + a} \right).\left( { - b} \right) = - a.b\)

\(\left( { - a} \right).\left( { + b} \right) = - a.b\)

Ví dụ:

a) \(( - 20).5 = - \left( {20.5} \right) = - 100.\)

b) \(15.\left( { - 10} \right) = - \left( {15.10} \right) = - 150.\)

c) \(20.\left( { + 50} \right) + 4.\left( { - {\rm{ }}40} \right) = 1000 - (4.40) = 1000 - 160 = 840. \)

2.Nhân hai số nguyên cùng dấu

Để nhân hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Nhận xét:

- Khi nhân hai số nguyên dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.

- Tích của hai số nguyên cùng dấu là số nguyên dương.

Chú ý:

Cho hai số nguyên dương \(a\) và \(b\), ta có:

\(\left( { - a} \right).\left( { - b} \right) = ( + a).( + a) = a.b\)

\(\left( { - a} \right).\left( { + b} \right) = - a.b\)

Ví dụ:

a) \(( - 4).( - 15) = 4.15 = 60\)

b) \(\left( { + 2} \right).( + 5) = 2.5 = 10\).

II. Tính chất của phép nhân các số nguyên

Nhận xét:

Trong một tích nhiều thừa số ta có thể:

- Đổi chỗ hai thừa số tùy ý.

- Dùng dấu ngoặc để nhóm các thừa số một cách tùy ý:

Chú ý:

+) \(a.1 = 1.a = a\)

+) \(a.0 = 0.a = 0\)

+) Cho hai số nguyên \(x,\,\,y\):

Nếu \(x.y = 0\) thì \(x = 0\) hoặc \(y = 0\).

Ví dụ 1:

a) \(\left( { - 3} \right).5 = 5.\left( { - 3} \right) = - 15\)

b) \(\left[ {\left( { - 2} \right).7} \right].\left( { - 3} \right) = \left( { - 2} \right).\left[ {7.\left( { - 3} \right)} \right] = \left( { - 2} \right).\left( { - 21} \right) = 42\)

c) \(\left( { - 5} \right).12 + \left( { - 5} \right).88 = \left( { - 5} \right).\left( {12 + 88} \right) = \left( { - 5} \right).100 = - 500\).

d) \(\left( { - 9} \right).36 - ( - 9).26 = \left( { - 9} \right).\left( {36 - 26} \right) = \left( { - 9} \right).10 = - 90\)

Ví dụ 2:

Nếu \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\) thì \(x - 1 = 0\) hoặc \(x + 5 = 0\).

Suy ra \(x = 1\) hoặc \(x = - 5\).

III. Quan hệ chia hết và phép chia hết trong tập hợp số nguyên

1.Phép chia hết

Ví dụ:

\(( - 15) = 3.( - 5)\) nên ta nói:

+) \( - 15\) chia hết cho \(( - 5)\)

+) \( - 15:( - 5) = 3\)

+) \(3\) là thương của phép chia \( - 15\) cho \( - 5\).

2.Phép chia hai số nguyên khác dấu

Ví dụ:

1. a) \(( - 27):3 = - \left( {27:3} \right) = - 9\).
2. b) \(36:\left( { - 9} \right) = - \left( {36:9} \right) = - 4\)

3. Phép chia hết hai số nguyên cùng dấu

Nhận xét: Phép chia hai số nguyên dương chính là phép chia hai số tự nhiên.

Chú ý:

Cách nhận biết dấu của thương:

\(\begin{array}{l}\left( + \right):\left( + \right) = \left( + \right)\\\left( - \right):\left( - \right) = \left( + \right)\\\left( - \right):\left( + \right) = \left( - \right)\\\left( + \right):\left( - \right) = \left( - \right)\end{array}\)

Ví dụ:

1. a) \(( - 36):( - 4) = 36:4 = 9\)
2. b) \(\left( { - 35} \right):( - 7) = 35:7 = 5\).

IV. Bội và ước của một số nguyên

Nhận xét:

- Nếu \(a\) là bội của \(b\) thì \( - a\) cũng là bội của \(b\).

- Nếu \(b\) là ước của \(a\) thì \( - b\) cũng là ước của \(a\).

Chú ý: Khi \(c\) vừa là ước của \(a\), vừa là ước của \(b\) thì \(c\) được gọi là ước chung của \(a\) và \(b\).

Kí hiệu ước chung của hai số nguyên \(a,\,b\) là ƯC(a, b).

Ví dụ 1:

a) \(5\) là một ước của \( - 30\) vì \(\left( { - 30} \right) \vdots 5\).

b) \( - 42\) là một bội của \( - 7\) vì \(\left( { - 42} \right) \vdots \left( { - 7} \right)\).

Ví dụ 2:

a) Các ước của 4 là: \(1;\, - 1;\,2;\, - 2;\,4;\, - 4\).

b) Các bội của 8 là: \(0;\,8;\, - 8;\,16;\, - 16;...\)

Ví dụ 3:

Ta thấy \(1;\, - 1;\,2;\, - 2\) vừa là ước của \(6\), vừa là ước của \(4\) nên chúng gọi là ước chung của \(6\) và \(4\).

Khi đó ta viết: ƯC(6; 4)={1;-1;2;-2}.