Lý thuyết Vecto trong mặt phẳng tọa độ

1. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTO

+) Trên mặt phẳng, hệ trục gồm hai trục Ox, Oy vuông góc với nhau tại O được gọi là hệ trục tọa độ.

Mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy.

+) Vecto đơn vị là vecto hướng là chiều dương, có độ dài bằng 1.

Quy ước: vecto đơn vị của trục Ox là \(\overrightarrow i \), vecto đơn vị của trục Oy là \(\overrightarrow j \). 
Điểm O gọi là gốc tọa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.

+) Với mỗi vecto \(\overrightarrow u \) trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số \(({x_0};{y_0})\) sao cho \(\overrightarrow u  = {x_0}.\overrightarrow i  + {y_0}.\overrightarrow j \)

Ta nói vecto \(\overrightarrow u \) có tọa độ \(({x_0};{y_0})\) và viết \(\overrightarrow u  = ({x_0};{y_0})\) hoặc \(\overrightarrow u ({x_0};{y_0})\).

Các số \({x_0},{y_0}\) tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của \(\overrightarrow u \).

+) Hai vecto bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ

\(\overrightarrow u (x;y) = \overrightarrow v (x';y') \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y = y'\end{array} \right.\)

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO

+) Cho hai vecto \(\overrightarrow u  = (x;y)\) và \(\overrightarrow v  = (x';y')\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = (x + x';y + y')\\\overrightarrow u  - \overrightarrow v  = (x - x';y - y')\\k\overrightarrow u  = (kx;ky)\quad (k \in \mathbb{R})\end{array}\)

+) Vecto \(\overrightarrow v \;(x';y')\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow u \;(x;y) \ne \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \exists \;k \in \mathbb{R}:x' = kx,\;y' = ky\) hay \(\frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}\) nếu \(xy \ne 0.\)

+) Điểm M có tọa độ \((x;y)\) thì vecto \(\overrightarrow {OM} \) có tọa độ \((x;y)\) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

+) Với hai điểm \(M(x;y)\) và \(N(x';y')\) thì \(\overrightarrow {MN}  = (x' - x;y' - y)\)

Khoảng cách giữa hai điểm M, N là \(MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{(x' - x)}^2} + {{(y' - y)}^2}} \)

+) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)

+) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)